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《数据结构与算法分析》学习笔记（二）——算法分析
一、对算法分析方法的最简单的理解和使用方法
1、首先大家可能一般会被那些数学的概念搞晕，其实简单理解下来，就是假设任何语句执行的效率都是一样的，所以设定每一个语句的执行时间都是一个时间单位，那么只要计算这个程序到底执行了多少语句，就可以算出其时间复杂度。
2、其次就是我们要明白，我们是个估算，所以可以进行化简，明显我们可以忽略那些相对来说低阶的项，只分洗最高阶项。然后主要就是有这些常见的法则：
（1）FOR循环
一次for循环的运行时间至多是该for循环内语句的运行时间乘以迭代次数。
（2）嵌套的FOR循环
肯定是计算最内层循环语句的执行次数，然后再乘以所以循环的迭代次数。
（3）整个程序
其实找到循环迭代次数最多，嵌套最多的进行计算就好。
3、当然，我们计算的只是大概值，而且为了计算的简便，我们一边进行适当的放大，即只考虑最坏最坏的情况，算出其时间复杂度即可。
二、最大子序列
书中通过4种不同的解法来进一步强化我们应该如何计算时间复杂度，小白我也好好学习了下，在此写下学习笔记。
题目：算出一个整数序列中最大的子序列的值。
算法一：
int MaxSubsequenceSum1(const int A[],int N)
{
int thisSum , MaxSum;
MaxSum=0;
for (int i =0; i<N; i++)
{
for (int j=i; j<N; j++)
{
thisSum=0;
for (int K =i; K<=j; K++)
{
thisSum+=A[K];
}
if(thisSum>MaxSum)
{
MaxSum=thisSum;
}
}
}
if(MaxSum==0)
{
int i;
for(i=0;i<N;i++)
{
if(A[i]!=0)
break;
}
if(i!=N)
{
int Max=A[0];
for(int j=0;j<N;j++)
{
if(A[j]>Max)
{
Max=A[j];
}
}
MaxSum=Max;
}
}
return MaxSum;
}
我们可以看出其最大的for循环有三重，而且最坏的可能迭代次数都是N，所以我们可以很容易的得出，此算法的时间复杂度为O（N^3），其中资源最明显的浪费就在重复计算了从低i到第k的子序列的值，所以算法二便是进行了简单的修改。
算法二：
int MaxSubsequenceSum2(const int A[],int N)
{
int thisSum,MaxSum;
MaxSum=0;
for (int i=0; i<N; i++)
{
thisSum=0;
for (int j=i; j<N; j++)
{
thisSum+=A[j];
if(thisSum>MaxSum)
{
MaxSum=thisSum;
}
}
}
if(MaxSum==0)
{
int i;
for(i=0;i<N;i++)
{
if(A[i]!=0)
break;
}
if(i!=N)
{
int Max=A[0];
for(int j=0;j<N;j++)
{
if(A[j]>Max)
{
Max=A[j];
}
}
MaxSum=Max;
}
}
return MaxSum;
}
其实改变的地方即使采用的累加的策略而已，但却使效率大大的提高了，所以这里也是提高算法效率的一个小小的技巧，即尽力减少不必要的计算，尽量利用现有的计算结果。
算法三：
int Max3(const int a,const int b,const int c)
{
int temp = (a>b)?a:b;
temp=(temp>c)?temp:c;
return temp;
}
int MaxSubSum(const int A[],int Left,int Right)
{
int MaxLeftSum,MaxRightSum;
int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;
int LeftBorderSum,RightBorderSum;
if(Left==Right)
{
if(A[Left]>0)
return A[Left];
else
return 0;
}
int center=(Right+Left)/2;
MaxLeftSum=MaxSubSum(A, Left, center);
MaxRightSum=MaxSubSum(A, center+1, Right);
LeftBorderSum=MaxLeftBorderSum=0;
for(int i=center;i>=Left;i--)
{
LeftBorderSum+=A[i];
if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum)
{
MaxLeftBorderSum=LeftBorderSum;
}
}
RightBorderSum=MaxRightBorderSum=0;
for(int i=center+1;i<=Right;i++)
{
RightBorderSum+=A[i];
if (RightBorderSum>MaxRightBorderSum)
{
MaxRightBorderSum=RightBorderSum;
}
}
return Max3(MaxLeftSum,MaxRightSum,MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum);
}
int MaxSubsequenceSum3(const int A[],int N)
{
int MaxSum = MaxSubSum(A, 0, N-1);
if(MaxSum==0)
{
int i;
for(i=0;i<N;i++)
{
if(A[i]!=0)
break;
}
if(i!=N)
{
int Max=A[0];
for(int j=0;j<N;j++)
{
if(A[j]>Max)
{
Max=A[j];
}
}
MaxSum=Max;
}
}
return MaxSum;
}
这个算法使用了分治的思想，还有递归的思想，即把一个问题不断的分解成类似的规模更小的子问题来解决，所以这里我们要求一个序列的最大子序列，其实就是求左半部分，有伴部分和中间部分的最大子序列，而求左半部分，后半部分的最大子序列显然是将问题的规模变小了，所以可以递归使用，直到剩下一个数的情况.而中间部分呢，则取左右两边，左边从右往左，右边从左往右的最大子序列。然后加起来作为中间部分的值，最后比较中间部分，左半部分，后半部分三部分的值就可以得到结果啦。
算法四：
int MaxSubsequenceSum4(const int A[],int N)
{
int thisSum,MaxSum;
thisSum = MaxSum=0;
for(int i=0;i<N;i++)
{
thisSum+=A[i];
if(thisSum>MaxSum)
{
MaxSum=thisSum;
}
else if(thisSum<0)
{
thisSum=0;
}
}
if(MaxSum==0)
{
int i;
for(i=0;i<N;i++)
{
if(A[i]!=0)
break;
}
if(i!=N)
{
int Max=A[0];
for(int j=0;j<N;j++)
{
if(A[j]>Max)
{
Max=A[j];
}
}
MaxSum=Max;
}
}
return MaxSum;
}
最后一个算法就比较牛逼啦，这个算法竟然只是N阶的，大家可以想想这个算法的速度有多快，而且如果不考虑全是负数的情况的话，还可以做到随时读入，随时释放内存的强大功能，在此深深膜拜一下。