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UOJ263 【NOIP2016】组合数问题

2024-08-27 15:51:15   220人阅读

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本文作者：ljh2000
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题目描述

组合数 CmnCnm 表示的是从 nn 个物品中选出 mm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 CmnCnm 的一般公式：

 

Cmn=n!m!(n?m)!Cnm=n!m!(n?m)!

 

其中 n!=1×2×?×nn!=1×2×?×n；特别地，定义 0!=10!=1。

小葱想知道如果给定 n,mn,m 和 kk，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

输入格式

从标准输入读入数据。

第一行有两个整数 t,kt,k，其中 tt 代表该测试点总共有多少组测试数据，kk 的意义见问题描述。

接下来 tt 行每行两个整数 n,mn,m，其中 n,mn,m 的意义见问题描述。

输出格式

输出到标准输出。

tt 行，每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

样例一

input

1 2
3 3

output

1

explanation

在所有可能的情况中，只有 C12=2C21=2 是 22的倍数。

样例二

input

2 5
4 5
6 7

output

0
7


正解：矩阵前缀和+组合数学
解题报告：
　　

　　这是一道很简单的数学题，可以发现其实如果根据组合中的一个基本公式：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1),就可以直接递推出2000以内的所有的组合数。而我们只需要判断有多少个点对满足是k的倍数，很容易想到只要对k取模，对于为0的C(i,j)是肯定满足是k的倍数的。

　　因为k是所有询问共用的，可以一开始就预处理出矩阵前缀和，之后每次O(1)查询就可以了。



 


注意事项：


　　很多人在考场上写的是质因数分解，但是很明显有一些k并不是质数，所以并不能直接分解，应该先对k进行质因数分解，在对于这些质因数在递推中分析。



　　　　





 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 #include <cstring>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <string>
 7 #include <ctime>
 8 #include <queue>
 9 #include <vector>
10 #include <cstdlib>
11 using namespace std;
12 typedef long long LL;
13 const int MAXN = 2011;
14 int T,k,n,m,ans;
15 int C[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN];
16 int sum[MAXN][MAXN];
17 
18 void work(){
19     scanf("%d%d",&T,&k);
20     C[1][0]=C[1][1]=1;
21     for(int i=2;i<=2000;i++){
22         C[i][0]=1;
23         for(int j=1;j<=i;j++) {
24             C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];            
25             C[i][j]%=k;
26             if(C[i][j]==0) {
27                 a[i][j]=1;
28             }
29         }
30     }
31     for(int i=1;i<=2000;i++)
32         for(int j=1;j<=2000;j++)
33             sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
34 
35     while(T--) {
36         scanf("%d%d",&n,&m); m=min(m,n);
37         printf("%d\n",sum[n][m]);
38     }
39 }
40 
41 int main()
42 {
43     work();
44     return 0;
45 }




 
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