首页 > 代码库 > UOJ261 【NOIP2016】天天爱跑步
UOJ261 【NOIP2016】天天爱跑步
本文版权归ljh2000和博客园共有，欢迎转载，但须保留此声明，并给出原文链接，谢谢合作。
本文作者：ljh2000
作者博客：http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/
转载请注明出处，侵权必究，保留最终解释权！
Description
Input
Output
输出1行N 个整数,第个整数表示结点的观察员可以观察到多少人。
Sample Input
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6
Sample Output
HINT
25分
考虑此时n很小，可以对于每条路径上暴力模拟，经过某个点时可以看一下当前时刻，是否跟经过的点的w相等，如果相等，则贡献加一。
45分
注意到测试点9-12时，保证m条路径的出发点都是1，那么我们可以考虑如果将1作为树根，那么一条路径怎样才能对于它经过的点产生贡献。不难看出对于一个点i，只有在deep[i]=w[i]，才有可能有贡献。我在考场上是直接用的链剖+线段树，因为这就变成模板题了，而且n不到10w，尽管复杂度偏高，但是不易错。直接对于每条路径经过的点在线段树上增加1次经过次数，显然只有deep与w相等的点才会产生贡献。
事实上对于S=1的情况有线性的算法，正解会详细介绍，不再赘述。
60分
注意到测试点6-8时，题目保证树退化成链。我们观察一下对于链而言，有什么特别的地方。首先要明确，此时m条路径在链上肯定是要么往左要么往右，即S<=T或者S>T。先只考虑S<=T的情况，如果对于S到T之间的点i，要产生贡献的话，肯定满足i-S=w[i]，移项可得S=i-w[i]时才可以满足要求。注意到等式右边只与i本身有关，不妨设为K[i]，所以题目变成了查询S到T之间K[i]等于S的i的数量。因为题目只涉及到首和尾，我们可以很容易联想到差分，即对于S打上+1标记，T打上-1标记。
根据上述思路，我们考虑具体做法：对于每个点i,我们很容易发现只有从一个特定的点出发才有可能对i产生贡献。我们考虑维护一个统计数组A，A[k]表示的是处理到当前的结点时，从k出发的路径（而且还没有走到终点）有多少条。这样对于每个点i，我们只要查询一下所对应的A[K[i]]就可以了，根据上面的分析，这就是我们的答案了。有一点注意处理：一个点i时，我们需要把以i为起点的路径加入统计数组A，再计算这个结点的贡献，最后再把以这个结点为终点的路径从A中消除，具体可以用vector实现（上述处理顺序的必要性仔细想想就很容易想通了）。
而对于S>T的情况完全类似，只是需要把K[i]定义为i+w[i]，其余做法完全类似。
100分
题目中设计的几个档次的部分分其实暗示已经很明显了。链的做法离正解就不远了。而S=1和T=1是在告诉我们什么呢？拆路径！很容易发现，一条S到T的路径可以拆成一条S到LCA的路径和LCA到T的路径，然后对于这两条路径，一条往上，一条往下，都可以对应成链的处理方式了！
考虑对于每条路径，先将其拆分成两条路径（为了简化对LCA在两条路径中都出现的各种情况，我们可以先就让LCA出现两次，如果最后发现LCA是有贡献的，只需-1即可），同样，我们先只考虑向上的路径。如果我们对于S在统计数组A上打上1的标记，LCA在统计数组A上打上-1的标记，那么题目转化为求一个点的子树和。考虑上述做法正确性：因为只有S到LCA路径之间的点会产生贡献，而当这个点位于路径之间时，子树和会产生1的贡献，而在S的子树中或者LCA的上方都不会产生贡献。具体实现呢？对于一个点i，产生贡献的条件是deep[S]-deep[i]=w[i]，同样令K[i]=deep[i]+w[i]，当我们dfs到i时查询A[k[i]]的值即为贡献。为了保证正确性，我们思考统计答案的方式和顺序。首先我们肯定是在处理完i的子树之后再来处理i（想想就知道了），然后我们需要再把以i出发的向上的路径加入统计数组，再进行查询，最后把以i为终点的路径所产生的贡献在统计数组A中消除即可。注意到我们上面维护的仅仅是一个点的深度，由于同一深度的点很多，所以我们查询的时候会发现会把不在同一子树的点统计入答案，那怎么办呢？我们考虑对于一个点要查询子树和，肯定是只要单独地考虑这一个子树的贡献，所以我们可以记录进入i时A[k[i]]的值，再在访问完i的子树之后统计答案时，看一下此时新的A[k[i]]的值，容易发现新的值减掉进入时的，才是真正的i的子树中的A[k[i]]的值。这样我们就可以避免把别的子树的答案统计进来了。
对于向下的点做法类似，有一点复杂的地方就是等式变成了deep[T]-deep[i]=len-w[i]（len为路径长度），发现如果这样做的话会出现负数，那么我们就把统计数组向右平移30w位就可以了。
上述做法如果采用的是倍增求LCA的话，复杂度就是O(nlogn)；如果用tarjan离线求LCA的话，可以做到O(n+m)。
注意事项
对于树上每个结点，统计答案时不能直接查询在统计数组中的对应的路径条数，而应该统计dfs进入i时，和访问完i的子树时的变化量。
1 //It is made by ljh2000 2 #include <iostream> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstring> 5 #include <cstdio> 6 #include <cmath> 7 #include <algorithm> 8 #include <ctime> 9 #include <vector> 10 #include <queue> 11 #include <map> 12 #include <set> 13 #include <string> 14 using namespace std; 15 typedef long long LL; 16 const int MAXN = 300011; 17 const int MAXM = 600011; 18 int n,m,ecnt,first[MAXN],next[MAXM],to[MAXM],f[MAXN][20],deep[MAXN],ans[MAXN],val[MAXN],tong[MAXN],MAXD,w[MAXN],num[1000011]; 19 vector<int>ljh[MAXN],ljh2[MAXN],ljh3[MAXN]; 20 struct node{ int s,t,lca,len;}a[MAXN]; 21 inline int getint(){ 22 int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<‘0‘||c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar(); 23 if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); while (c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar(); return q?-w:w; 24 } 25 inline void link(int x,int y){ next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; } 26 inline void init(int x,int fa){ for(int i=first[x];i;i=next[i]) { int v=to[i]; if(v==fa) continue; deep[v]=deep[x]+1; init(v,x); f[v][0]=x; } } 27 inline int lca(int x,int y){ 28 if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); int t=0; while((1<<t)<=deep[x]) t++; t--; 29 for(int i=t;i>=0;i--) if(deep[x]-(1<<i)>=deep[y]) x=f[x][i]; if(x==y) return y; 30 for(int i=t;i>=0;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][0]; 31 } 32 33 inline void dfs(int x,int fa){ 34 int now=w[x]+deep[x],cun; if(now<=MAXD) cun=tong[now]; 35 for(int i=first[x];i;i=next[i]) { 36 int v=to[i]; if(v==fa) continue; 37 dfs(v,x); 38 } 39 tong[deep[x]]+=val[x]; if(now<=MAXD) ans[x]=tong[now]-cun; 40 for(int i=0,ss=ljh[x].size();i<ss;i++) tong[deep[ljh[x][i]]]--; 41 } 42 43 inline void DFS(int x,int fa){ 44 int now=deep[x]-w[x],cun; now+=300000; cun=num[now]; 45 for(int i=first[x];i;i=next[i]) { 46 int v=to[i]; if(v==fa) continue; 47 DFS(v,x); 48 } 49 for(int i=0,ss=ljh2[x].size();i<ss;i++) num[300000+ljh2[x][i]]++; 50 ans[x]+=num[now]-cun; 51 for(int i=0,ss=ljh3[x].size();i<ss;i++) num[300000+ljh3[x][i]]--; 52 } 53 54 inline void work(){ 55 n=getint(); m=getint(); int x,y; for(int i=1;i<n;i++) { x=getint(); y=getint(); link(x,y); link(y,x); } 56 for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=getint(); deep[1]=1; init(1,0); for(int i=1;i<=n;i++) MAXD=max(MAXD,deep[i]); 57 for(int j=1;j<=19;j++) for(int i=1;i<=n;i++) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; 58 for(int i=1;i<=m;i++) { 59 a[i].s=getint(),a[i].t=getint(),val[a[i].s]++; 60 a[i].lca=lca(a[i].s,a[i].t),a[i].len=deep[a[i].s]+deep[a[i].t]-deep[a[i].lca]*2; 61 ljh[a[i].lca].push_back(a[i].s); 62 } 63 dfs(1,0); 64 for(int i=1;i<=m;i++) { 65 ljh2[a[i].t].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len); 66 ljh3[a[i].lca].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len); 67 } 68 DFS(1,0); 69 for(int i=1;i<=m;i++) if(deep[a[i].s]-deep[a[i].lca]==w[a[i].lca]) ans[a[i].lca]--; 70 for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]); 71 } 72 73 int main() 74 { 75 work(); 76 return 0; 77 }
1 //It is made by ljh2000 2 #include <iostream> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstring> 5 #include <cstdio> 6 #include <cmath> 7 #include <algorithm> 8 #include <ctime> 9 #include <vector> 10 #include <queue> 11 #include <map> 12 #include <set> 13 #include <string> 14 using namespace std; 15 typedef long long LL; 16 const int MAXN = 300011; 17 const int MAXM = 600011; 18 int n,m,ecnt,first[MAXN],next[MAXM],to[MAXM],f[MAXN][20],deep[MAXN],ans[MAXN],val[MAXN],tong[MAXN],MAXD,w[MAXN],num[1000011]; 19 int head[MAXN],tt[MAXM],nn[MAXM],father[MAXN],vis[MAXN]; 20 vector<int>ljh[MAXN],ljh2[MAXN],ljh3[MAXN]; 21 struct node{ int s,t,lca,len;}a[MAXN]; 22 inline int getint(){ 23 int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<‘0‘||c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar(); 24 if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); while (c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar(); return q?-w:w; 25 } 26 inline void link(int x,int y){ next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; } 27 inline void LINK(int x,int y){ nn[++ecnt]=head[x]; head[x]=ecnt; tt[ecnt]=y; } 28 inline int find(int x){ if(father[x]!=x) father[x]=find(father[x]); return father[x]; } 29 inline void init(int x,int fa){ 30 father[x]=x; vis[x]=1; 31 for(int i=head[x];i;i=nn[i]) { 32 int v=tt[i]; 33 if(x==a[v].s&&vis[a[v].t]) a[v].lca=find(a[v].t); 34 if(x==a[v].t&&vis[a[v].s]) a[v].lca=find(a[v].s); 35 } 36 for(int i=first[x];i;i=next[i]) { 37 int v=to[i]; if(v==fa) continue; 38 deep[v]=deep[x]+1; init(v,x); father[v]=x; 39 f[v][0]=x; 40 } 41 } 42 43 inline int lca(int x,int y){ 44 if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); int t=0; while((1<<t)<=deep[x]) t++; t--; 45 for(int i=t;i>=0;i--) if(deep[x]-(1<<i)>=deep[y]) x=f[x][i]; if(x==y) return y; 46 for(int i=t;i>=0;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][0]; 47 } 48 49 inline void dfs(int x,int fa){ 50 int now=w[x]+deep[x],cun; if(now<=MAXD) cun=tong[now]; 51 for(int i=first[x];i;i=next[i]) { 52 int v=to[i]; if(v==fa) continue; 53 dfs(v,x); 54 } 55 tong[deep[x]]+=val[x]; if(now<=MAXD) ans[x]=tong[now]-cun; 56 for(int i=0,ss=ljh[x].size();i<ss;i++) tong[deep[ljh[x][i]]]--; 57 } 58 59 inline void DFS(int x,int fa){ 60 int now=deep[x]-w[x],cun; now+=300000; cun=num[now]; 61 for(int i=first[x];i;i=next[i]) { 62 int v=to[i]; if(v==fa) continue; 63 DFS(v,x); 64 } 65 for(int i=0,ss=ljh2[x].size();i<ss;i++) num[300000+ljh2[x][i]]++; 66 ans[x]+=num[now]-cun; 67 for(int i=0,ss=ljh3[x].size();i<ss;i++) num[300000+ljh3[x][i]]--; 68 } 69 70 inline void work(){ 71 n=getint(); m=getint(); int x,y; for(int i=1;i<n;i++) { x=getint(); y=getint(); link(x,y); link(y,x); } 72 for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=getint(); ecnt=0; 73 for(int i=1;i<=m;i++) { a[i].s=getint(),a[i].t=getint(),val[a[i].s]++; LINK(a[i].s,i); LINK(a[i].t,i);} 74 deep[1]=1; init(1,0); for(int i=1;i<=n;i++) MAXD=max(MAXD,deep[i]); 75 for(int j=1;j<=19;j++) for(int i=1;i<=n;i++) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; 76 for(int i=1;i<=m;i++) { 77 a[i].len=deep[a[i].s]+deep[a[i].t]-deep[a[i].lca]*2; 78 ljh[a[i].lca].push_back(a[i].s); 79 } 80 dfs(1,0); 81 for(int i=1;i<=m;i++) { 82 ljh2[a[i].t].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len); 83 ljh3[a[i].lca].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len); 84 } 85 DFS(1,0); 86 for(int i=1;i<=m;i++) if(deep[a[i].s]-deep[a[i].lca]==w[a[i].lca]) ans[a[i].lca]--; 87 for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]); 88 } 89 90 int main() 91 { 92 work(); 93 return 0; 94 }
UOJ261 【NOIP2016】天天爱跑步