3.1 渐近记号

 存在的几种性质：

传递性

自反性：f(n)=K(f(n))  ---K代表θ,O,Ω三种情况

对称性：f(n)=θ(g(n)) ---当且仅当g(n)=θ(f(n))

转置对称性：f(n)=O(g(n)) ---当且仅当g(n)=Ω(f(n))

----------练习---------

3.1-1 证明max(f(n),g(n))=θ(f(n)+g(n))

由  (f(n)+g(n))/2≤max(f(n),g(n))≤f(n)+g(n) 可知

显然存在c1,c2满足式：c1(f(n)+g(n))≤y(n)≤c2(f(n)+g(n))   ---比如c1=1/2,  c2=1      从而得证！

3.1-2 证明对任意常数a和b，其中b>0，有    (n+a)^b=θ(n^b)

即证明存在c1,c2满足： c₁n^b≤(n+a)^b≤c₂n^b

两边同时除以n^b 可得 ： c₁≤(1+a/n)^b≤c₂

显然，当n趋于∞时， 0<(1+a/n)^b<e

所以存在c1,c2,得证

3.1-4  2ⁿ⁺¹=O(2ⁿ)成立吗？2²ⁿ=O(2ⁿ)成立吗

显然   当c>2时，2ⁿ⁺¹≤c*2ⁿ  成立

但对于2²ⁿ≤c*2ⁿ则不存在c对于n>m的任意值成立

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3.2 标准记号与常用函数

多项式与指数的增长率互相关联(指数函数比任意多项式函数增长的快！！！)：

对数的几条常用性质： a=b^log_ba        log_ba=(log_ca)/(log_cb) ---其中一种特殊情况 log_ba=1/(log_ab)

多项式与多对数的增长互相关联(多项式函数比任意多对数函数增长的快！！！)：

斐波那契数 ：

--------练习-------

3.2-2 证明等式  a^log_bc=c^log_ba

两边同时进行对数处理 log_b便可知等式成立

Chapter 3 函数的增长