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线段树求逆序数方法 HDU1394&&POJ2299

2024-07-17 11:25:48   220人阅读

为什么线段树可以求逆序数？


给一个简单的序列 9 5 3 他的逆序数是3
首先要求一个逆序数有两种方式：可以从头开始往后找比当前元素小的值，也可以从后往前找比当前元素大的值，有几个逆序数就是几。
线段树就是应用从后往前找较大值得个数。（一边更新一边查）
当前个数是 n = 10
元素   9  5   3

9先加入线段树，T【9】+=1；查从T【9】到T【10】比9大的值，没有sum = 0；
5 加入线段树，T【5】 += 1，查从T【5】到T【10】比5大的值，有一个9，sum +=1；
3 加入线段树，T【3】 += 1，查从T【3】到T【10】比3大的值，有两个9和5，sum +=2；
最终sum = 3；


若元素值不能确定，那么首先讲数列离散化，在从前往后枚举，找后面比前面小的统计个数……
离散化：例如2 5 8 3 10 等价于 1 3 4 2 5，可以通过排序加小小处理解决。
例如：
元素    9 5  3 4 1     离散化后得到索引
索引    1 2 3 4 5
将元素升序排序
元素    1 3 4 5 9
索引    5 3 4 2 1


    枚举到第i个数，我们需要求出从1到i-1中有多少个比a[i]大的数，更新答案。
    具体怎么做呢？
    每次枚举完一个数之后，将这个数插入到线段树里（注意：插到与其对应的位置）。
    举个例子：3 2 4 1。则线段树的变化应该为：t[3]+=1;t[2]+=1;t[4]+=1;t[1]+=1;
    
  设x=a[i]，这样，在插入一个数X时，首先求一下t[x+1]~t[n]的和，这个和就是1~i-1中有多少个比a[i]大的数
 因为求一个数列的逆序数可以从两个

在你插a[i]时，前面已经有多少个比a[i]大的数

POJ 2299
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define MAX INT_MAX
#define MIN INT_MIN
#define LL __int64
#define init(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 500010;
using namespace std;

int T[maxn<<2], index[maxn], num[maxn];
int n;

int cmp(const int i, const int j)
{
    return num[i] < num[j];
}

void update( int l, int r,int rt, int num, int add)
{
    T[rt] += add;
    if(r==l) return ;
    int m = (l+r) >> 1;
    if(num <= m) update(lson, num, add);
    else update(rson, num, add);
}

int query( int l, int r, int rt,int L, int R)
{
    if(L<=l && r<=R) return T[rt];
    int m = (l+r) >> 1;
    int ans = 0;
    if(L <= m) ans += query(lson, L, R);
    if(R > m) ans += query(rson, L, R);
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        if(n==0) break;
        init(index);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d", &num[i]);
            update(1, n,1, i, 1);//离散化
            index[i] = i;
        }
        sort(index+1, index+n+1,cmp); //排序num，更新索引 
        LL sum = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            sum += (query( 1, n,1, 1, index[i])-1);
            update(1, n,1,  index[i], -1);
        }
        printf("%I64d\n", sum);
    }
    return 0;
}

HDU 1394 
题意：一组数 每次把最前面的元素放在最后生成新的序列，再统计逆序数，求所有逆序中最小值
有一个公式：先求出原数列的逆序数，sum
那么每次新逆序数 = sum-a[i] + （n-a[i] - 1）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define MAX INT_MAX
#define MIN INT_MIN
#define LL __int64
#define init(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 500010;
using namespace std;

int T[maxn<<2], index[maxn], num[maxn];
int n;

int cmp(const int i, const int j)
{
    return num[i] < num[j];
}

void update( int l, int r,int rt, int num, int add)
{
    T[rt] += add;
    if(r==l) return ;
    int m = (l+r) >> 1;
    if(num <= m) update(lson, num, add);
    else update(rson, num, add);
}

int query( int l, int r, int rt,int L, int R)
{
    if(L<=l && r<=R) return T[rt];
    int m = (l+r) >> 1;
    int ans = 0;
    if(L <= m) ans += query(lson, L, R);
    if(R > m) ans += query(rson, L, R);
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        if(n==0) break;
        init(index);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d", &num[i]);
            update(1, n,1,  i, 1);
            index[i] = i;
        }
       sort(index+1, index+n+1,cmp);

        LL sum = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            sum += (query( 1, n,1, 1, index[i])-1);
           update(1, n,1,  index[i], -1);

        }
      //  printf("%I64d\n", sum);
        LL  ans = sum;
        for(int i = 1;i<=n;i++)
        {
            sum =  sum - num[i] + (n-num[i]- 1);
            ans = min(sum,ans);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}



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