关联分析又称关联挖掘，就是在交易数据、关系数据或其他信息载体中，查找存在于项目集合或对象集合之间的频繁模式、关联、相关性或因果结构。关联分析的一个典型例子是购物篮分析。通过发现顾客放入购物篮中不同商品之间的联系，分析顾客的购买习惯。比如，67%的顾客在购买尿布的同时也会购买啤酒。通过了解哪些商品频繁地被顾客同时购买，可以帮助零售商制定营销策略。关联分析也可以应用于其他领域，如生物信息学、医疗诊断、网页挖掘和科学数据分析等。

1. 问题定义

图1 购物篮数据的二元表示

　　图1表示顾客的购物篮数据，其中每一行是每位顾客的购物记录，对应一个事务，而每一列对应一个项。令I={i_1, i_2, ... , i_d}是购物篮数据中所有项的集合，而T={t_1, t_2, ... , t_N}是所有事务的集合。每个事务t_i包含的项集都是I的子集。在关联分析中，包含0个或多个项的集合被称为项集（itemset）。所谓的关联规则是指形如X→Y的表达式，其中X和Y是不相交的项集。在关联分析中，有两个重要的概念——支持度（support）和置信度（confidence）。支持度确定规则可以用于给定数据集的频繁程度，而置信度确定Y在包含X的事务中出现的频繁程度。支持度（s）和置信度（c）这两种度量的形式定义如下：

公式1

　　其中，N是事务的总数。关联规则的支持度很低，说明该规则只是偶然出现，没有多大意义。另一方面，置信度可以度量通过关联规则进行推理的可靠性。因此，大多数关联分析算法采用的策略是：

（1）频繁项集产生：其目标是发现满足最小支持度阈值的所有项集，这些项集称作频繁项集。

（2）规则的产生：其目标是从上一步发现的频繁项集中提取所有高置信度的规则，这些规则称作强规则。

2. 构建FP-tree

　　FP-growth算法通过构建FP-tree来压缩事务数据库中的信息，从而更加有效地产生频繁项集。FP-tree其实是一棵前缀树，按支持度降序排列，支持度越高的频繁项离根节点越近，从而使得更多的频繁项可以共享前缀。

图2 事务型数据库

　　图2表示用于购物篮分析的事务型数据库。其中，a，b，...，p分别表示客户购买的物品。首先，对该事务型数据库进行一次扫描，计算每一行记录中各种物品的支持度，然后按照支持度降序排列，仅保留频繁项集，剔除那些低于支持度阈值的项，这里支持度阈值取3，从而得到<(f:4)，(c:4)，(a:3)，(b:3)，(m:3，(p:3)>（由于支持度计算公式中的N是不变的，所以仅需要比较公式中的分子）。图2中的第3列展示了排序后的结果。

　　FP-tree的根节点为null，不表示任何项。接下来，对事务型数据库进行第二次扫描，从而开始构建FP-tree：

　　第一条记录<f，c，a，m，p>对应于FP-tree中的第一条分支<(f:1)，(c:1)，(a:1)，(m:1)，(p:1)>：

图3 第一条记录

　　由于第二条记录<f，c，a，b，m>与第一条记录有相同的前缀<f，c，a>，因此<f，c，a>的支持度分别加一，同时在(a:2)节点下添加节点(b:1)，(m:1)。所以，FP-tree中的第二条分支是<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(h:1)，(m:1)>：

图4 第二条记录

　　第三条记录<f，b>与前两条记录相比，只有一个共同前缀<f>，因此，只需要在(f:3)下添加节点<b:1>：

图5 第三条记录

　　第四条记录<c，b，p>与之前所有记录都没有共同前缀，因此在根节点下添加节点(c:1)，(b:1)，(p:1)：

图6 第四条记录

　　类似地，将第五条记录<f，c，a，m，p>作为FP-tree的一个分支，更新相关节点的支持度：

图7 第五条记录

 　　为了便于对整棵树进行遍历，建立一张项的头表（an item header table）。这张表的第一列是按照降序排列的频繁项。第二列是指向该频繁项在FP-tree中节点位置的指针。FP-tree中每一个节点还有一个指针，用于指向相同名称的节点：

图8 FP-tree

　　综上，FP-tree的节点可以定义为：

class TreeNode {private:    String name; // 节点名称    int count; // 支持度计数    TreeNode *parent; // 父节点    Vector<TreeNode *> children; // 子节点    TreeNode *nextHomonym; // 指向同名节点        ...}

3. 从FP-tree中挖掘频繁模式（Frequent Patterns）

　　我们从头表的底部开始挖掘FP-tree中的频繁模式。在FP-tree中以p结尾的节点链共有两条，分别是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)，(p:2)>和<(c:1)，(b:1)，(p:1)>。其中，第一条节点链表表示客户购买的物品清单<f，c，a，m，p>在数据库中共出现了两次。需要注意到是，尽管<f，c，a>在第一条节点链中出现了3次，单个物品<f>出现了4次，但是它们与p一起出现只有2次，所以在条件FP-tree中将<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)，(p:2)>记为<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(m:2)，(p:2)>。同理，第二条节点链表示客户购买的物品清单<c，b，p>在数据库中只出现了一次。我们将p的前缀节点链<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(m:2)>和<(c:1)，(b:1)>称为p的条件模式基（conditional pattern base）。p的条件FP-tree为：

图9 p的条件FP-tree

　　对于条件FP-tree的挖掘分为两步，首先判断当前节点是否满足阈值要求，这里(p:3)满足支持度阈值的要求，所以直接输出频繁项(p:3)。然后，检查当前节点的条件FP-tree中是否有满足阈值要求的节点，如果没有，则输出当前频繁项集，并退出递归；如果有，则依次从条件FP-tree中选择一个节点，递归挖掘条件FP-tree。下面将具体讨论这个过程。从图9可以看到p的条件FP-tree中只有(c:3)满足支持度阈值的要求，所以以p结尾的频繁项集只有(p:3)，(cp:3)。

　　在FP-tree中以m结尾的节点链共有两条，分别是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)>和<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(b:1)，(m:1)>。所以m的条件模式基是<(f:2)，(c:2)，(a:2)>和<(f:1)，(c:1)，(a:1)，(b:1)>。由于(b:1)不满足支持度阈值，所以只需要考虑<(f:2)，(c:2)，(a:2)>和<(f:1)，(c:1)，(a:1)>合并后的频繁项集<(f:3)，(c:3)，(a:3)>：

图10 m的条件FP-tree

　　与p不同，m的条件FP-tree中有3个节点，所以需要多次递归地挖掘频繁项集mine(<(f:3)，(c:3)，(a:3)|(m:3)>)。按照<(a:3)，(c:3)，(f:3)>的顺序递归调用mine(<(f:3)，(c:3)|a，m>)，mine(<(f:3)|c，m>)，mine(null|f，m)。由于(m:3)满足支持度阈值要求，所以以m结尾的频繁项集有{(m:3)}。

图11 节点(a，m)的条件FP-tree

　　从图11可以看出，节点(a，m)的条件FP-tree有2个节点，需要进一步递归调用mine(<(f:3)|c，a，m>)和mine(<null|f，a，m>)。进一步递归mine(<(f:3)|c，a，m>)生成mine(<null|f，c，a，m>)。因此，以(a，m)结尾的频繁项集有{(am:3)，(fam:3)，(cam:3)，(fcam:3)}。

图 12 节点(c，m)的条件FP-tree

　　从图12可以看出，节点(c，m)的条件FP-tree只有1个节点，所以只需要递归调用mine(<null|f，c，m>)。因此，以(c，m)结尾的频繁项集有{(cm:3)，(fcm:3)}。同理，以(f，m)结尾的频繁项集有{(fm:3)}。

　　在FP-tree中以b结尾的节点链共有三条，分别是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(b:1)>，<(f:4)，(b:1)>和<(c:1)，(b:1)>。由于节点b的条件模式基<(f:1)，(c:1)，(a:1)>，<(f:1)>和<(c:1)>都不满足支持度阈值，所以不需要再递归。因此，以b结尾的频繁项集只有(b:3)。

　　同理可得，以a结尾的频繁项集{(fa:3)，(ca:3)，(fca:3)，(a:3)}，以c结尾的频繁项集{(fc:3)，(c:4)}，以f结尾的频繁项集{(f:4)}。

4. 讨论

　　在韩家炜教授提出FP-growth算法之前，关联分析普遍采用Apriori及其变形算法。但是，Apriori及其变形算法需要多次扫描数据库，并需要生成指数级的候选项集，性能并不理想。FP-growth算法提出利用了高效的数据结构FP-tree，不再需要多次扫描数据库，同时也不再需要生成大量的候选项。

　　对于单路径的FP-tree其实不需要递归，通过排列组合可以直接生成。韩家炜教授在其论文中提到了针对单路径的优化算法。论文中也提到了面对大数据时，如何调整FP-growth算法使之适应数据量。

5. 参考资料

[1] Mining Frequent Patterns without Candidate Generation. Jiawei Han, Jian Pei, and Yiwen Yin. Data Mining and Knowledge Discovery. Volume 8 Issue 1. January 2004. [PDF]

[2] Frequent Pattern 挖掘之二(FP Growth算法). yfx416. Software Engineer in NRC. 2011. [Link]

[3] FP-Tree算法的实现. Orisun. 华夏35度. 2011. [Link]