数据挖掘中有一个很重要的应用，就是Frequent Pattern挖掘，翻译成中文就是频繁模式挖掘。这篇博客就想谈谈频繁模式挖掘相关的一些算法。

定义

何谓频繁模式挖掘呢？所谓频繁模式指的是在样本数据集中频繁出现的模式。举个例子，比如在超市的交易系统中，记载了很多次交易，每一次交易的信息包括用户购买的商品清单。如果超市主管是个有心人的话，他会发现尿不湿，啤酒这两样商品在许多用户的购物清单上都出现了，而且频率非常高。尿不湿，啤酒同时出现在一张购物单上就可以称之为一种频繁模式，这样的发掘就可以称之为频繁模式挖掘。这样的挖掘是非常有意义的，上述的例子就是在沃尔玛超市发生的真实例子，至今为工业界所津津乐道。

Aprior挖掘算法：

那么接下来的问题就很自然了，用户该如何有效的挖掘出所有这样的模式呢？下面我们就来讨论一下最简单，最自然的一种方法。在谈到这个算法之前，我们先声明一个在频繁模式挖掘中的一个特性-Aprior特性。

Aprior特性:

这个特性是指如果一个Item set(项目集合)不是frequent item set(频繁集合),那么任何包含它的项目集合一定也不是频繁集合.这里的集合就是模式.这个特性很自然,也很容易理解.比如还是看上面沃尔玛超市的例子,如果啤酒这个商品在所有的购物清单中只出现过1次,那么任何包含啤酒这个商品的购物商品组合,比如(啤酒,尿不湿)最多也只出现了一次,如果我们认定出现次数多于2次的项目集合才能称之为频繁集合的话,那么这些包含了啤酒的购物组合肯定都不是频繁集合.反之,如果一个项目集合是频繁集合,那么它的任意非空子集也是频繁集合.

有了这个特性,那么就可以在挖掘过程中对一些不可能的项目集合进行排除,避免造成不必要的计算浪费.这个方法主要包含两个操作:product(叉积)和prune(剪枝).这两种操作是整个方法的核心.

首先是product:

先有几个定义，L(k)-候选项目队列，该队列中包含一系列的项目集合（也就是说队列是项目集合的集合），这些项目集合的长度都是一样的，都为k，这个长度我们称之为秩(呵呵，秩是我自己取的中文名)，这些长度相同的集合称之为k-集合。那么就有L(k+1)=L(k) product L(k).也就是说通过product操作（自叉积），秩为k的候选队列可以生成秩为k+1的候选队列。需要注意的是，这里所有的候选队列中的k-集合都按照字母顺序（或者是另外的某种事先定义好的顺序）排好序了。好，下面关键来了，product该如何执行？product操作是针对候选队列中的k-集合的，实际上就是候选队列中的k-集合两两进行执行join操作。K-集合l1,l2之间能够进行join有一个前提，那就是两个k-集合的前k-1个项目是相同的，并且l1(k)的顺序大于l2(k)(这个顺序的要求是为了排除重复结果)。用公式表示这个前提就是(l1[1]=l2[1])^(l1[2]=l2[2])^…^(l1[k-1]=l2[k-1])^(l1[k]<l2[k]).那么join的结果就形成了一个k+1长度的集合l1[1],l1[2],…,l1[k-1],l1[k],l2[k]。如果L(k)队列中的所有k-集合两两之间都完成了join操作，那么这些形成的k+1长度的集合就构成了一个新的秩为k+1的候选项目队列L(k+1)。

剪枝操作：

这个操作是针对候选队列的，它对候选队列中的所有k-集合进行一次筛选，筛选过程会对数据库进行一次扫描，把那些不是频繁项目集合的k-集合从L(k)候选队列中去掉。为什么这么做呢？还记得前面提到的Aprior特性么？因为这些不是频繁集合的k-集合通过product操作无法生成频繁集合，它对product操作产生频繁集合没有任何贡献，把它保留在候选队列中除了增加复杂度没有任何其他优点，因此就把它从队列中去掉。

这两个操作就构成了算法的核心，用户从秩为1的项目候选队列开始，通过product操作，剪枝操作生成秩为2的候选队列，再通过同样的2步操作生成秩为3的候选队列，一直循环操作，直到候选队列中所有的k-集合的出现此为等于support count.

下面给出一个具体的例子，可以很好得阐述上面的算法思想：

这种算法思路比较清晰直接，实施起来比较简单。但是缺点就是代价很大，每一次剪枝操作都会对数据库进行扫描，每一次product操作需要对队列中的k-集合两两进行join操作，其复杂度为C(sizeof(L(k)),2)。

为了提高算法效率，Han Jiawei提出了FP Growth算法，使得频繁模式的挖掘效率又提升了一个数量级。

FP树构造

FP Growth算法利用了巧妙的数据结构，大大降低了Aproir挖掘算法的代价，他不需要不断得生成候选项目队列和不断得扫描整个数据库进行比对。为了达到这样的效果，它采用了一种简洁的数据结构，叫做frequent-pattern tree(频繁模式树)。下面就详细谈谈如何构造这个树，举例是最好的方法。请看下面这个例子：

这张表描述了一张商品交易清单，abcdefg代表商品，(ordered)frequent items这一列是把商品按照降序重新进行了排列，这个排序很重要，我们操作的所有项目必须按照这个顺序来，这个顺序的确定非常简单，只要对数据库进行一次扫描就可以得到这个顺序。由于那些非频繁的项目在整个挖掘中不起任何作用，因此在这一列中排除了这些非频繁项目。我们在这个例子中设置最小支持阈值（minimum support threshold）为3。

我们的目标是为整个商品交易清单构造一颗树。我们首先定义这颗树的根节点为null，然后我们开始扫描整个数据库的每一条记录开始构造FP树。

第一步：扫描数据库的第一个交易，也就是TID为100的交易。那么就会得到这颗树的第一个分支<(f:1),(c:1),(a:1),(m:1),(p:1)>。注意这个分支一定是要按照降频排列的。

第二步：扫描第二条交易记录（TID=200），我们会有这么一个频繁项目集合<f,c,a,b,m>。仔细观察这个队列，你会发现这个集合的前3项<f,c,a>与第一步产生的路径<f,c,a,m,p>的前三项是相同的，也就是说他们可以共享一个前缀。于是我们在第一步产生的路径的基础上，把<f,c,a>三个节点的数目加1，然后将<(b:1),(m:1)>作为一个分支加在(a:2)节点的后面，成为它的子节点。看下图

第三步:接着扫描第三条交易记录(TID=300),你会看到这条记录的集合是<f, b>,与已存在的路径相比,只有f是共有的前缀,那么f节点加1,同时再为f节点生成一个新的字节点(b:1).就会有下图:

第四步：继续看第四条交易记录，它的集合是<c,b,p>，哦，这回不一样了。你会发现这个集合的第一个元素是c,与现存的已知路径的第一个节点f不一样，那就不用往下比了，没有任何公共前缀。直接将该集合作为根节点的子路径附加上去。就得到了下图（图1）：

第五步：最后一条交易记录来了，你看到了一条集合<f,c,a,m,p>。你惊喜得发现这条路径和树现有最左边的路径竟然完全一样。那么，这整条路径都是公共前缀，那么这条路径上的所有点都加1好了。就得到了最终的图(图2)。

好了，一颗FP树就已经基本构建完成了。等等，还差一点。上述的树还差一点点就可以称之为一个完整的FP树啦。为了便于后边的树的遍历，我们为这棵树又增加了一个结构-头表，头表保存了所有的频繁项目，并且按照频率的降序排列，表中的每个项目包含一个节点链表，指向树中和它同名的节点。罗嗦了半天，可能还是不清楚，好吧直接上图，一看你就明白：

以上就是整个FP树构造的完整过程。聪明的读者一定不难根据上述例子归纳总结出FP树的构造算法。这里就不再赘述。详细的算法参考文献1。

FP树的挖掘

下面就是最关键的了。我们已经有了一个非常简洁的数据结构，下一步的任务就是从这棵树里挖掘出我们所需要的频繁项目集合而不需要再访问数据库了。还是看上面的例子。

第一步:我们的挖掘从头表的最后一项p开始，那么一个明显的直接频繁集是(p:3)了。根据p的节点链表，它的2个节点存在于2条路径当中：路径<f:4,c:3,a:3,m:2,p:2>和路径<c:1,b:1,p:1>.从路径<f:4,c:3,a:3,m:2,p:2>我们可以看出包含p的路径<f,c,a,m,p>出现了2次，同时也会有<f,c,a>出现了3次，<f>出现了4次。但是我们只关注<f,c,a,m,p>，因为我们的目的是找出包含p的所有频繁集合。同样的道理我们可以得出<c,b,p>在数据库中出现了1次。于是，p就有2个前缀路径{(fcam:2),(cb:1)}。这两条前缀路径称之为p的子模式基（subpattern-base），也叫做p的条件模式基（之所以称之为条件模式基是因为这个子模式基是在p存在的前提条件下）。接下来我们再为这个条件子模式基构造一个p的条件FP树。再回忆一下上面FP树的构造算法，很容易得到下面这棵树：

但是由于频繁集的阈值是3。那么实际上这棵树经过剪枝之后只剩下一个分支(c:3),所以从这棵条件FP树上只能派生出一个频繁项目集{cp:3}.加上直接频繁集(p:3)就是最后的结果．

第二步:我们接下来开始挖掘头表中的倒数第二项m,同第一步一样,显然有一个直接的频繁集(m:3).再查看它在FP树中存在的两条路径<f:4,c:3,a:3,m:2>和<f:4,c:3,a:3,b1,m:1>.那么它的频繁条件子模式基就是{ (fca:2),(fcab:1)}.为这个子模式基构造FP树,同时舍弃不满足最小频繁阈值的分支b,那么其实在这棵FP树中只存在唯一的一个频繁路径<f:3,c:3,a:3>.既然这颗子FP树是存在的,并且不是一颗只有一个节点的特殊的树,我们就继续递归得挖掘这棵树.这棵子树是单路径的子树,我们可以简化写成mine(FP tree|m)=mine(<f:3,c:3,a:3>|m:3).

下面来阐述如何挖掘这颗FP子树,我们需要递归.递归子树也需要这么几个步骤:

1这颗FP子树的头表最后一个节点是a,结合递归前的节点m,那么我们就得到am的条件子模式基{(fc:3)},那么此子模式基构造的FP树(我们称之为m的子子树)实际上也是一颗单路径的树<f:3,c:3>,接下也继续继续递归挖掘子子树mine(<f:3,c:3>|am:3). (子子树的递归分析暂时打住.因为再分析子子树的递归的话文字就会显得太混乱)

2同样,FP子树头表的倒数第二个节点是c,结合递归前节点m,就有我们需要递归挖掘mine(<f:3>|cm:3).

3 FP子树的倒数第三个节点也是最后一个节点是f,结合递归前的m节点,实际上需要递归挖掘mine(null|fm:3),实际上呢这种情况下的递归就可以终止了,因为子树已经为空了.因此此情况下就可以返回频繁集合<fm:3>

注意:这三步其实还包含了它们直接的频繁子模式<am:3>,<cm:3>,<fm:3>,这在每一步递归调用mine<FPtree>都是一样的,就不再罗嗦得一一重新指明了.

实际上这就是一个很简单的递归过程,就不继续往下分析了,聪明的读者一定会根据上面的分析继续往下推导递归,就会得到下面的结果.

mine(<f:3,c:3>|am:3)=><cam:3>,<fam:3>,<fcam:3>

mine(<f:3>|cm:3)=><fcm:3>

mine(null|fm:3)=><fm:3>

这三步还都包含了各自直接的频繁子模式<am:3>,<cm:3>,<fm:3>.

最后再加上m的直接频繁子模式<m:3>,就是整个第二步挖掘m的最后的结果。请看下图

第三步:来看看头表倒数第三位<b:3>的挖掘,它有三条路径<f:4,c:3,a:3,b:1>,<f:4,b:1>,<c:1,b:1>，形成的频繁条件子模式基为{(fca:1),(f:1),(c:1)}，构建成的ＦＰ树中的所有节点的频率均小于3,那么FP树为空，结束递归．这一步得到的频繁集就只有直接频繁集合<b:3>

第四步：头表倒数第四位<a:3>，它有一条路径<f:4,c:3>，频繁条件子模式基为{(fc:3)}，构成一个单路径的ＦＰ树．实际上可能有人早已经发现了，这种单路径的ＦＰ树挖掘其实根本不用递归这么麻烦，只要进行排列组合就可以直接组成最后的结果．实际上也确实如此．那么这一步最后的结果根据排列组合就有：{(fa:3),(ca:3),(fca:3),(a:3)}

第五步：头表的倒数第五位<c:4>,它只有一条路径<f:4>,频繁条件子模式基为{(f:3)}，那么这一步的频繁集也就很明显了:{(fc:3),(c:4)}

第六步：头表的最后一位<f:4>，没有条件子模式基，那么只有一个直接频繁集{(f:4)}

这６步的结果加在一起，就得到我们所需要的所有频繁集．下图给出了每一步频繁条件模式基．

其实,通过上面的例子,估计早有人看出来了,这种单路径的FP树挖掘其实是有规律的,根本不用递归这么复杂的方法,通过排列组合可以直接生成.的确如此,Han Jiawei针对这种单路径的情况作了优化.如果一颗FP树有一个很长的单路径,我们将这棵FP树分成两个子树:一个子树是由原FP树的单路径部分组成,另外一颗子树由原FP树的除单路径之外的其余部分组成.对这两个子树分别进行FP Growth算法,然后对最后的结果进行组合就可可以了.

通过上面博主不厌其烦，孜孜不倦，略显罗嗦的分析，相信大家已经知道FP Growth算法的最终奥义．实际上该算法的背后的思想很简单，用一个简洁的数据结构把整个数据库进行ＦＰ挖掘所需要的信息都包含了进去，通过对数据结构的递归就可以完成整个频繁模式的挖掘．由于这个数据结构的ｓｉｚｅ远远小于数据库，因此可以保存在内存中，那么挖掘速度就可以大大提高．

也许有人会问?如果这个数据库足够大,以至于构造的FP树大到无法完全保存在内存中,这该如何是好.这的确是个问题. Han Jiawei在论文中也给出了一种思路,就是通过将原来的大的数据库分区成几个小的数据库(这种小的数据库称之为投射数据库),对这几个小的数据库分别进行FP Growth算法.

还是拿上面的例子来说事,我们把包含p的所有数据库记录都单独存成一个数据库,我们称之为p-投射数据库,类似的m,b,a,c,f我们都可以生成相应的投射数据库,这些投射数据库构成的FP树相对而言大小就小得多,完全可以放在内存里.

在现代数据挖掘任务中,数据量越来越大,因此并行化的需求越来越大,上面提出的问题也越来越迫切.下一篇博客,博主将分析一下,FP Growth如何在MapReduce的框架下并行化.

前面的博客分析了关联分析中非常重要的一个算法-FP Growth.该算法根据数据库在内存中构造一个精巧的数据结构-FP Tree,通过对FP Tree不断的递归挖掘就可以得到所有的完备Frequent Patterns.但是在目前海量数据的现状下，FP Tree已经大到无法驻留在计算机的内存中。因此，并行化是唯一的选择。这篇博客主要讲一下如何在MapReduce框架下进行并行FP挖掘，它主要的算法在文献1中有详细描述。

如何进行FP Growth的并行化呢？一个很自然的想法就是，将原始的数据库划分成几个分区，这几个分区分别在不同的机器上，这样的话我们就可以对不同数据分区并行得进行FP Growth挖掘，最后将不同机器上的结果结合起来得到最终的结果。的确，这是一个正确的思路。但问题是：我们按照什么样的方法来把数据库划分成区块呢？如果FP Growth能够真正的独立进行并行化，那么就需要这些数据分区必须能够互相独立，也就是这些分区针对某一部分项目来说是完备的。于是就有一种方法：通过对数据库的一次扫描，构造一个Frequent Item列表F_List = {I1:count1, I2:count2, I3:count3…} ^ (count1> count2 > count3>…)，然后将F_List分成几个Group，形成几个G_List.这时候我们再扫描数据库的每一条Transaction，如果这条Transaction中包含一条G_List中的Item，那么这条transaction就被添加到该group对应的数据库分区中去，这样就形成了几个数据库分区，每个数据库分区对应一个group和一个group_list。这种分区方法就保证对group_list里面的item而言，数据库分区是完备的。这种分区方式会导致数据会有冗余，因为一条transaction可能会在不同的分区中都有备份,但为了保持数据的独立性,这是一个不得已方法。

下面就简单谈谈该算法的步骤:

第一步:数据库分区.把数据库分成连续的不同的分区,每一个分区分布在不同的机器上.每一个这样的分区称之为shard。

第二步:计算F_list,也就是所有item的support count.这个计算通过一个MapReduce就可以完成.想想hadoop上word count的例子,本质上和这一步是一样的.

第三步:条目分组.将F_list里的条目分成Q个组,这样的话就行成了一个group_list,group_list里的每一个group都被分配一个group_id,每个group_list都包含一组item的集合.

第四步:并行FP Growth.这一步是关键.它也是由一个MapReduce来完成的.具体来看看.

Mapper:

这个Mapper完成的主要功能是数据库分区。它和第一步中的shard有所不同，它利用第一步shard的数据库分区，一个一个处理shard数据库分区中的每一条transaction,将transaction分成一个一个item，每一个item根据group_list映射到合适的group里去。这样的话，通过mapper，属于同一个group的item集合都被聚合到一台机器上，这样就形成了我们前面讲到的完备数据集，在下一步的reducer中就可以并行得进行FP Growth算法了。

Reducer：

基于mapper形成的完备数据集，进行local的FP_Growth算法

第五步：聚合，将各台机器上的结果聚合成最终我们需要的结果。

前面的博客分析了关联分析中非常重要的一个算法-FP Growth.该算法根据数据库在内存中构造一个精巧的数据结构-FP Tree,通过对FP Tree不断的递归挖掘就可以得到所有的完备Frequent Patterns.但是在目前海量数据的现状下，FP Tree已经大到无法驻留在计算机的内存中。因此，并行化是唯一的选择。这篇博客主要讲一下如何在MapReduce框架下进行并行FP挖掘，它主要的算法在文献1中有详细描述。

如何进行FP Growth的并行化呢？一个很自然的想法就是，将原始的数据库划分成几个分区，这几个分区分别在不同的机器上，这样的话我们就可以对不同数据分区并行得进行FP Growth挖掘，最后将不同机器上的结果结合起来得到最终的结果。的确，这是一个正确的思路。但问题是：我们按照什么样的方法来把数据库划分成区块呢？如果FP Growth能够真正的独立进行并行化，那么就需要这些数据分区必须能够互相独立，也就是这些分区针对某一部分项目来说是完备的。于是就有一种方法：通过对数据库的一次扫描，构造一个Frequent Item列表F_List = {I1:count1, I2:count2, I3:count3…} ^ (count1> count2 > count3>…)，然后将F_List分成几个Group，形成几个G_List.这时候我们再扫描数据库的每一条Transaction，如果这条Transaction中包含一条G_List中的Item，那么这条transaction就被添加到该group对应的数据库分区中去，这样就形成了几个数据库分区，每个数据库分区对应一个group和一个group_list。这种分区方法就保证对group_list里面的item而言，数据库分区是完备的。这种分区方式会导致数据会有冗余，因为一条transaction可能会在不同的分区中都有备份,但为了保持数据的独立性,这是一个不得已方法。

下面就简单谈谈该算法的步骤:

第一步:数据库分区.把数据库分成连续的不同的分区,每一个分区分布在不同的机器上.每一个这样的分区称之为shard。

第二步:计算F_list,也就是所有item的support count.这个计算通过一个MapReduce就可以完成.想想hadoop上word count的例子,本质上和这一步是一样的.

第三步:条目分组.将F_list里的条目分成Q个组,这样的话就行成了一个group_list,group_list里的每一个group都被分配一个group_id,每个group_list都包含一组item的集合.

第四步:并行FP Growth.这一步是关键.它也是由一个MapReduce来完成的.具体来看看.

Mapper:

这个Mapper完成的主要功能是数据库分区。它和第一步中的shard有所不同，它利用第一步shard的数据库分区，一个一个处理shard数据库分区中的每一条transaction,将transaction分成一个一个item，每一个item根据group_list映射到合适的group里去。这样的话，通过mapper，属于同一个group的item集合都被聚合到一台机器上，这样就形成了我们前面讲到的完备数据集，在下一步的reducer中就可以并行得进行FP Growth算法了。

Reducer：

基于mapper形成的完备数据集，进行local的FP_Growth算法

第五步：聚合，将各台机器上的结果聚合成最终我们需要的结果。

上面的图就给出了算法步骤的框图。有了这个框图，大家可能对算法的步骤就有一定的认识了。后面的博客就针对每一步进行具体的分析。

分析MapReduce框架下FP Growth算法详细步骤。

Sharding

这一步没什么好讲的，将数据库分成连续的大小相等的几个块，放置在不同的机器上。以Hadoop来讲，其框架本身就将整个数据库放在不同的机器上，形成不同的分区，因此在Hadoop上我们本身都不需要做什么。

F_list计算

这一步来讲也没什么好讲的，就是一个简单的频率统计，这是MapReduce最简单的一种应用。下面给出伪码，读者自己分析一下很容易看明白。

条目分组

这一步难度也不大。将F_list分成几个组而已。从这一步开始，为了更好得阐述算法的详细步骤，我们举个例子来说明问题。后边的所有步骤的举例都是基于这个例子的。

还是韩老师的论文中的这个例子，假设我们在两台机器上对这个数据库进行并行化的FP Grwoth。那么经过第二步，我们得到了F_list如下：

F_list = {(f:4), (c:4), (a:3), (b:3), (m:3), (p:3)}

那么在这一步中，我们把它分成2个组，形成了一个G_list:

G_list={ {group1: (f:4), (c:4), (a:3) }, {group2: (b:3), (m:3), (p:3} )

并行化FPGrowth

直接上算法伪码。

结合例子我们来分析一下这个例子。先看maper，伪码中的G_List就是上文中提到的G_list:

G_list={ {group1: (f:4), (c:4), (a:3) }, {group2: (b:3), (m:3), (p:3} )

哈希表H则是这样的一个形式：

HashNum就是哈希表中的value，其实就是group id。

a[]就是每一条transaction拆分成的一个一个item形成的数组。以例子来看，就有

T1（TID=100）

a[] = { f, c, a, m, p}

T2 (TID=200)

a[] = {f,c,a,b,m}

T3 (TID=300)

a[] = {f,b}

T4 (TID=400)

a[] = {c,b,p}

T5 (TID=500)

a[]={f,c,a,m,p}

假设T1,T2,T3是一个shard,T4,T5是一个shard.那么mapper的过程实际上就是这么一个过程：

查看Transaction T里的所有item分别属于哪些组，然后将T发送给相应的组。比如T1，它遍历所有元素，先看到p，根据哈希表，它属于group2，那么他就输出<group2, T1>。并将哈希表中所有val=group2的项全部删掉。那么哈希表就变成了：

接着看到m，再查哈希表，发现m的项没有了，也就是说T1在前面的遍历步骤中已经被发送到了m所在的group，因此我们没有必要再把这条记录重新再发送一遍（m本来对应的是group2，但在前面p的处理中，T1已经发送到group2了，在这一步中就不再重复发送T1到group2了），因此啥也不干，返回。继续遍历。

接着再遍历看b，哈希表中也没有，同m一样。

接下来看a，通过哈希表得知它属于group1，那么就将T1发送给group1，然后将哈希表中val=group1的所有项全部删除，也就是通知后边的步骤，T1已经发送过给group1了，后边的步骤不要再发送给group1。经过这一步，哈希表已经为空了，也就是说T1所包含的item所在的group全部已经处理完毕了。

接下来c，f的处理什么都不需要做。

根据上面详细而罗嗦的分析，其实可以看到，这一步mapper的目的很简单，把在自己机器上的所有transaction发送到合适的group上去，发送的原则就是transaction所包含的item属于哪些group，发送的目标就是这些group。通过对哈希表条目的删除，确保一条Transaction不会重复发送多次到某一group上。

其实细心的读者这时候可能会问博主了？不对，博主骗人。算法并不是把Transaction整条记录发送给不同的group，而是不同的group发送Transaction的不同的部分。因为算法伪码maper的output明显是：

Ouput<HashNum,a[0]+…+a[j]>=output<group_id, a[0]+…+a[j]>

以上面的例子来讲，T1发送给group2的item序列是

{f, c, a, b, m, p}

而发送给group1的item序列是

{f,c,a}

为什么会这样呢？这样group1的数据舍弃了一部分不是不完整了么？这样不会导致挖掘的结果不完全么？

其实如果你注意到所有的transaction里的item都是按照F_list的频率次数从高到低排列的话，你可能就明白我们为什么可以做这样的一个优化了。还是接着前面的例子，我们把{f, c, a}发送到group1的机器上，我们的目的其实就是希望能在group1的机器上，挖掘出所有包含group1的item的frequent pattern，这些frequent pattern包含一个或多个group1里的item。我们舍弃的这一部分数据都是频率比自己小的item.那么我们来看我们的group分布情况：

group1: f, c,a | group2: b, m, p

group1和group2的频率分界线是ａ的出现频率，在本例中分界点是３，也就是说group1里所有的item出现的频率都大于等于３，group2所有item出现的频率都小于或等于３。

通过group2的ＦＰ挖掘，我们可以得到所有包含｛b,m,p｝集合子集的所有ｉｔｅｍ序列，比如{b:3, bm:2, pm:2, fb:3….}等等。很明显，这个序列里元素的频率都不会超过３，因为经过第二步F_list的统计, {b,m,p}出现的次数不会大于３。

同样的，group1挖掘出得到包含group1里元素集合子集的所有item序列，比如{f:4,fc:3,ca:3…}，这个序列里元素的频率都不会小于３。在group1做挖掘时我们会有这样的担心：结果舍弃了包含{b,m,p}的item组合，那么如果存在类似有fb,fm,fp这样的频繁模式组合，会不会也被我们舍弃掉了？答案是不会。

如果我们设定support阈值是一个小于３的数，比如是２。那么在group2的挖掘中，就已经把fb,fm,fp这样的结果包含进去了。Group1舍弃的数据并不影响。

如果support阈值等于3，那么fb,fm,fp这样的组合的频率肯定是小于3的（因为b,m,p频率小于3），当然应该被舍掉。所以也不会造成损失。

如果阈值大于3，那么更不会造成损失了，原因也是因为fb,fm,fp这样的组合的频率肯定是小于3的（因为b,m,p频率小于3）。

所以，大家应该理解了为什么mapper做output分组时可以舍去一些数据了吧，根本原因是所有的transaction都必须按照统一的一定的顺序排列。上述的例子中分组正好是按照频率的顺序来分的，其实是个特例，便于说明而已，也可以用其他的顺序。分组其实也不需要一定把频率大的item分成一个group，频率低的item分成一个group，可以以任何策略来分组。本质上,为什么我们可以舍去一些数据的原因就是groupA^groupB的集合已经包含在先分发到groupA的transaction里了，所以groupB里不需要再包含groupA^groupB的数据。这个推论有个前提，就是所有transaction里的item排列都必须有一个唯一的一致的顺序（按什么排序都可以随意，可以按字母顺序，可以按频率高低），这个顺序的意义在于，所有的transaction都是按照一样的先后顺序来进行截断从而发送到不同的group,如下图：

I1 – grp1 , I2 –grp2, I3-grp1,…In-grp1

再看伪码中的Reducer：

每台机器上Reducer的输入就是对应某一个group_id的transaction集合。首先是获得G_list，和前面一样。nowGroup是被分配在这台机器上的所有item的集合，用上面的例子来讲，如果是在group1的机器上，那么就有nowGroup={f,c,a}.

接下来就是生成本地的FP树LocalFPTree，也很好理解。接下来，reducer针对nowGroup里的每一个item定义了一个size为K的堆HP，用来存储包含该item的frequent pattern，这个frequent pattern就是用经典的FP Growth算法挖掘出来的。（还记得堆这个数据结构吧，完全二叉树，任何一个节点都大于或小于它的子节点。这里堆存的数据是包含了指定item的按频率排的top K个frequent pattern）。最后将HP的数据输出。

实际上到了这一步，结果就已经出来了。我们每台机器上针对每个nowGroup里的item得到了top K个frequent pattern，每个frequent pattern都包含这个item。根据前面分析，我们也知道，由于所有处理的transaction都是排过序的，所以各台机器上生成结果不会有重叠覆盖的情况。按理说到这一步，就可以了。但是为了使最终的结果更好，可以再加一步处理过程：结果聚合。

结果聚合

请看伪码如下：

这个mapreduce实际上完成了一个index的功能，把上一步的结果进行了一个处理，它把上一步得到的frequent pattern按照item做了索引，这要得到的最后结果就是某一个item对应着一组frequent pattern。它把这些frequent pattern放在一个堆里，便于按频率的高低顺序进行访问。伪码中的if-else其实就是把frequent pattern插入堆，如果堆满了，和频率最小的那个节点（也就是根节点）比较一下，如果新节点的值大的话，删掉根节点，插入新节点。这样做的目的是始终保持堆里存储着某一item频率最高的top K个frequent pattern。

这就是map reduce框架下FP Growth算法的具体实现。在apache的开源项目mathout中它已经得到了实现，大家可以直接使用。

最后再谈一点个人意见，这个FP Growth Mapreduce实现在对F_list进行分组时可以再考虑一些负载均衡的策略，因为不采用任何策略的话，有可能会导致频率高的item都在一组，那么发射到这一组所对应机器上transaction就会得特别多，处理压力也会特别大，而别的机器上任务却过于轻松，这对整个系统效率的提升是很不利的。如果加入一定的策略考量，把频率高的item均匀的分配到各台机器上，将会使效率更加提高。

转自http://blog.sina.com.cn/s/articlelist_1761593252_0_2.html

Aprior算法、FP Growth算法