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ACdream 1112 Alice and Bob (sg函数的变形+素数筛)

2024-08-27 04:35:58   216人阅读

题意：有N个数，Alice 和 Bob 轮流对这些数进行操作，若一个数 n=a*b且a>1，b>1，可以将该数变成 a 和 b 两个数；

         或者可以减少为a或b，Alice先，问谁能赢

思路：首先单看对每个数进行除法的操作，我们可以知道其实是在除以每个数的素因子或素因子之间的积

         比如 70=2*5*7 我们可以变成 10（2*5）或 14（2*7) 或 35（5*7）或 2 或 5 或 7 或 1 这七种状态

         当我们把他们（2，5，7）当作3个石子也就是一堆时，然而实际上我们是将这堆石子进行nim游戏

         我拿走一个石子 =》 10（2*5） 我拿走了石子7 

                                   14 （2*7） 我拿走了石子5

                                   35 （5*7） 我拿走了石子2

         我拿走两个石子 =》 2    我拿走了石子5 和 石子7 

                                    5    我拿走了石子2 和 石子7 

                                    7    我拿走了石子2 和 石子5

         我拿走三个石子 =》 1     我拿走了石子2 和 石子5 和 石子7

         接下来我们分析把一个数n=a*b变成 a 和 b ，其实这里上面的思想很像，把它当作石子的分堆

         我可以分成             第一种 10（2*5） 和 7

                                    第二种 14（2*7） 和 5

                                    第三种 35（5*7） 和 2

         综上所诉，根据正整数唯一分解定理，任何一个正整数x必然有x=(p1^r1)*(p2^r2)*......*(pn^rn)

         定义sum=r1+r2+...+rn，这个sum的值就是这堆石子的总数，那么sg=sg[sum1]^sg[susm2]^....

         问题又来了？ 这个sum我们应该如何求呢？

         我们可以通过素数筛得到每一个数的最小质因子，我们得到一个类似于递推的公式

         一个正整数的质因子的个数=（这个正整数 / 这个数的最小质因子 所得数） 的质因子个数 + 1（也就是加上这是最小质因子的数量 1）

         接下来代码实现就可以了

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define maxn 5000000
using namespace std;

int prime[maxn+5],k=0,samll[maxn],sum[maxn];
bool visit[maxn+5];
int sg[105];

void get_prime()
{
    memset(visit,false,sizeof(visit));
    memset(samll,0,sizeof(samll));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(visit[i]==false)
        {
            prime[k++]=i;
            for(int j=i+i;j<=maxn;j+=i)
            {
                visit[j]=true;
                if(samll[j]==0) samll[j]=i;
            }
            samll[i]=i;
        }
    }
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    sum[i]=sum[i/samll[i]]+1;
}

int get(int n)
{
    if(sg[n]!=-1) return sg[n];
    bool vis[105];
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    vis[get(n-i)]=true;
    for(int i=1;i<=n/2;i++)
      vis[get(i)^get(n-i)]=true;
    int k;
    for(int i=0;i<105;i++)
    {
        if(vis[i]==false)
        {
           return sg[n]=i;
        }
    }
}

int main()
{
   get_prime();
   memset(sg,-1,sizeof(sg));
   sg[0]=0;
   sg[1]=1;
   for(int i=2;i<=100;i++)
   {
       get(i);
   }
   int n;
   while(cin>>n)
   {
       int ans=0;
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           int x;
           scanf("%d",&x);
           ans=ans^sg[sum[x]];
       }
       if(ans)
       cout<<"Alice"<<endl;
       else
       cout<<"Bob"<<endl;
   }
   return 0;
}

 

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