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微积分(第六版)Chapter(1) -- Function and Model

1. 表示函数的4种方式

Each of these are described a rule whereby, given a number x, another number y is assigned. In each case we say y (second number) is a function of x (first number).

 

independent variable(因变量): A symbol that represents an arbitrary number in the domain of a function ƒ.

dependent variable(自变量): A symbol that represents a number in the range of ƒ.

如果把ƒ(x)当做一台机器的话,那么原材料就是输入的domain或者说是x,机器生产出来的产品就是range,也就是ƒ(x). 对每一个x的值,函数值ƒ(x)都有唯一的值和它对应。

 

奇函数和偶函数

even function(偶函数): if a function ƒ satisfies ƒ(-x)=ƒ(x) for every number x in its domain.

偶函数沿y轴对称。

odd function(奇函数): if ƒ satisfies ƒ(-x)=-ƒ(x).

奇函数沿x轴对称。

奇函数和偶函数的判断方法:把x替换成-x,看看得出的结果是什么。

 

增函数和减函数

注意:函数的增减性是对某一区间而言的。

 

2. 函数变换

 

水平和垂直变换:

以y=ƒ(x)为例:

y=ƒ(x)+C,函数向上移动C个距离;

y=ƒ(x)–C,函数向下移动C个距离;

y=ƒ(x+C),函数向左移动C个距离;

y=ƒ(x–C),函数向右移动C个距离。

 

拉伸,收缩和反射变换:

以y=ƒ(x)为例:

y=Cƒ(x), 函数在垂直方向拉伸C倍大小;

y=(1/C) ƒ(x),函数在垂直方向上收缩C倍大小;

y=ƒ(Cx),函数在水平方向收缩C倍大小;

y=ƒ(x/C),函数在水平方向上拉伸C倍大小;

y=–ƒ(x),函数沿X轴旋转180°;

y=ƒ(–x),函数沿Y轴旋转180°。

 

复合函数

函数的四则运算:

(ƒ+g)(x) = ƒ(x) + g(x)

(ƒ–g)(x) = ƒ(x) – g(x)

(ƒg)(x) = ƒ(x)*g(x)

(ƒ/g)(x) = ƒ(x)/g(x)

(ƒ°g)(x) = ƒ(g(x))

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