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01背包问题（空间优化）经典代码

2024-07-05 08:02:13   228人阅读

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N   for v=V..0      f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight)   for v=V..cost      f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1]，这是显然的。

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i=1..N   ZeroOnePack(c[i],w[i]);

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

一个常数优化

前面的伪代码中有 for v=V..1，可以将这个循环的下限进行改进。

由于只需要最后f[v]的值，倒推前一个物品，其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代码中的

for i=1..N   for v=V..0

可以改成

for i=1..n   bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}   for v=V..bound

这对于V比较大时是有用的。

小结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<string.h>
  3 #define MINUSINF 0x80000000
  4 #define MAXN 100
  5 #define MAXV 1000
  6 int max(int a,int b)
  7 {
  8     return a>b?a:b;
  9 } 
 10 //n件物品和一个容量为v的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]，装满与否要求为full
 11 //算法1：经典DP二维数组解法，时间复杂度及空间复杂度均为O(nv) 
 12 int ZeroOnePack1(int n,int v,int c[],int w[],int full)
 13 {
 14     int i,j;
 15     int f[MAXN][MAXV];
 16     if(full)
 17     {
 18         for(i=0;i<=n;i++)
 19             for(j=0;j<=v;j++) 
 20                 f[i][j]=MINUSINF;
 21         f[0][0]=0;
 22     } 
 23     else memset(f,0,sizeof(f));
 24     for(i=1;i<=n;i++)
 25     {
 26         for(j=0;j<=v;j++)
 27         {
 28             if(j>=c[i])
 29                 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
 30             else f[i][j]=f[i-1][j];
 31         }
 32     }
 33     if(f[n][v]<0) return -1;
 34     else return f[n][v];
 35 }
 36 //算法2：算法1的一维数组解法，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)
 37 int ZeroOnePack2(int n,int v,int c[],int w[],int full)
 38 {
 39     int i,j;
 40     int f[MAXV];
 41     if(full)
 42     {
 43         f[0]=0;
 44         for(i=1;i<=v;i++) 
 45             f[i]=MINUSINF;
 46     }
 47     else memset(f,0,sizeof(f));
 48     for(i=1;i<=n;i++)
 49     {
 50         for(j=v;j>=0;j--)
 51         {
 52             if(j>=c[i])
 53                 f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
 54         }
 55     }
 56     if(f[v]<0) return -1;
 57     else return f[v];
 58 }
 59 //算法3：算法2的优化，去掉了无必要的判断，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)
 60 int ZeroOnePack3(int n,int v,int c[],int w[],int full)
 61 {
 62     int i,j;
 63     int f[MAXV];
 64     if(full)
 65     {
 66         f[0]=0;
 67         for(i=1;i<=v;i++) 
 68             f[i]=MINUSINF;
 69     }
 70     else memset(f,0,sizeof(f));
 71     for(i=1;i<=n;i++)
 72     {
 73         for(j=v;j>=c[i];j--)
 74         {
 75             f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
 76         }
 77     }
 78     if(f[v]<0) return -1;
 79     else return f[v];
 80 }
 81 //算法4：算法3的常数优化，在v较大时优势明显，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)
 82 int ZeroOnePack4(int n,int v,int c[],int w[],int full)
 83 {
 84     int i,j,sum=0,bound;
 85     int f[MAXV];
 86     if(full)
 87     {
 88         f[0]=0;
 89         for(i=1;i<=v;i++) 
 90             f[i]=MINUSINF;
 91     }
 92     else memset(f,0,sizeof(f));
 93     for(i=1;i<=n;i++) sum+=w[i];
 94     for(i=1;i<=n;i++)
 95     {
 96         if(i>1) sum-=w[i-1];
 97         bound=max(v-sum,c[i]);
 98         for(j=v;j>=bound;j--)
 99         {
100             f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
101         }
102     }
103     if(f[v]<0) return -1;
104     else return f[v];
105 }
106 int main()
107 {
108     int i,j;
109     int n,v,c[MAXN],w[MAXN];
110     while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF)
111     {
112         for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);
113         printf("%d\n",ZeroOnePack1(n,v,c,w,0));
114     }
115     return 0;
116 }
View Code

 


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