之前学习计算机视觉，虽然敲了不少代码，但一直没弄懂傅里叶变换以及图像滤波背后的数学含义，只能对着现成的公式照葫芦画瓢，让我内心觉得深深的不安。好在通过这段时间在华为的实习，恶补了一下数字信号处理相关的基础知识，总算是把这方面的坑给填上了。以下为这几天的学习成果，也就是我自己对傅里叶变换的理解。

一、离散时间信号

　　要弄懂离散时间信号的傅里叶变换，首先要弄清楚什么是信号，而什么又是离散时间信号。（虽然感觉像是废话，可作为一个软件工程的童鞋我一开始对这些东西真的没概念啊T_T）

　　所谓信号，其实就是包含一个或多个变量的函数，举几个例子：语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，黑白照片可以表示为亮度随二维空间坐标变化的函数。（此段内容来自于奥本海姆的《信号与系统》）

　　所谓离散时间信号，又名数字信号，它是由数字序列表示的离散函数 {x[n]}, -∞<n<+∞，其中 n 为整数。一般情况下，为了方便起见，我们常将 {x[n]} 简写为 x[n] 。常见的离散时间信号有：

　　①单位取样序列：

　　②单位越阶序列：

　　③矩形序列：

　　（以上内容来自于华中科大的教材《数字信号处理》）

二、离散时间系统

　　在弄懂离散时间信号的傅里叶变换之前，我们还要弄清楚一个概念：离散时间系统。

　　所谓离散时间系统，就是把输入的离散序列 x[n] 映射成输出序列 y[n] 的唯一变换，用 T[] 表示。

　　其中，满足线性叠加原理的系统被称为线性系统，即：

　　①　　T[ax₁(n) + bx₂(n)] = ay₁(n) + by₂(n)

　　若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻n无关，则称其为非移变系统，即：若有

　　②　　T[x(n)] = y(n)，则有T[x(n-k)] = y(n-k)

　　同时满足以上两个条件的系统被称为线性非移变系统。

三、卷积

　　相信学习过计算机视觉的同学对这个词一定不会陌生，卷积是线性非移变系统的特性，定义如下：

　　设 T[] 为线性非移变系统，当输入为单位取样序列 δ[n] 时，定义输出 （其中，三角形下带一个等号的符号表示“定义为”），h[n] 称为单位取样响应（或单位冲激响应），对于任意的 x[n] ，下列等式成立：（没时间写了，明天补上）

四、傅里叶变换

　　傅里叶变换的定义：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数sin(ωx + φ)叠加的形式，其中每个正弦函数都具有不同的系数A，式中的ωx为频率

　　根据这个定义，我们可以把傅里叶变换推广到非周期函数上：非周期函数可以表示为无限个不同频率的正弦函数叠加的形式，而每个正弦函数所对应的系数都趋近于无穷小（注意：这些趋近于无穷小的系数是不相等的）。（没写完，明天补上）