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离散时间信号与系统：4
12.系统
系统就是变换（Transformations，在线性代数中表示运动的一种描述）
将一个离散时域信号x映射到一个离散时域信号y。例如：磁共振成像系统。
其中，offset翻译成：补偿系统么？ Decimate翻译成抽样系统么？
总结：
系统通过对信息的操作将一个信号变换为（transform）另一个信号。
只考虑：
将无限信号x变换为无限信号y。
将长度为N的信号x变换为长度为N的信号y。
12. 线性系统
两个性质： 缩放性和可加性。
注意：两个性质都是系统输出y随着系统输入x的变化。而对应信号中x[n]的整体变化，不是n的变化。（时不变是关于n的）
证明系统线性，需要证明系统对任意输入信号都保持两个性质。而证明非线性只需要一个返例。
矩阵相乘和线性系统
写在前面：线性代数就是描述线性变化的学科，主要手段就是矩阵相乘。所以他们联系自然紧密。
矩阵相乘就是一个线性系统。
所有的线性系统都可以表达为矩阵相乘。这个结论非常imba，想想工科研究，都是对各种模型系统进行的，而这些系统基本上都是线性系统！！！ 所以，都是矩阵相乘。
使用图像的形式对线性系统进行表达，还是蛮有趣的一件事。而图像的表达也是很多线性系统研究的方式之一。
线性系统可以看成矩阵H的列向量的线性组合，x是权值向量，y是输出。
线性系统也可以看做是一系列的内积。每个y[n]都是H矩阵中的第n行与x的内积。
除了以上两种理解：
从线性代数的角度看，矩阵相乘就是向量的线性变换（从空间的一个点变换到另一个点），或者说该点不变，而是空间本身的变换。相关链接：矩阵的理解这篇文章。
总结：
线性系统的性质。
线性系统h可以表达为一个矩阵（H），所以可以从两个角度理解：
系统输出y可以看做是矩阵H的加权平均，权值是x。
系统输出y也可以看成是H的行向量和x的内积的序列。
时不变系统(也叫移不变系统)
一个系统昨天输入x，今天输入x，明天输入x，任何时间输入x都只得到同样的输出y。
输出只与x有关，与时间无关，为什么强调这个？ 因为信号是x[n]是时间的函数呀。所以时不变系统与n的变化无关！！！！
同样时间位移产生同样的时间位移的输出。同样时间位移产生同样的时间位移的输出。同样时间位移产生同样的时间位移的输出。
时不变系统（有限信号的表达）
与无限信号的区别之处为：有限信号的移位通过模操作（圆环）来完成，还记得么？ （第一章中有）。所以在表达式上使用模操作。
总结：
时不变系统的性质不变，不论什么时间进行输入。
无限信号：任何整数的时间位移，系统皆保持不变。
有限信号：任何环状时间位移，系统皆保持不变。
线性是不变系统
同时含有线性和时不变两个性质的系统。
有趣的地方出现了！！！有趣的地方出现了！！！有趣的地方出现了！！！
线性时不变系统的矩阵H是非常特殊的。
输出y[n]是H的第n行，与x信号的内积,即每个hn,m与x[m]相乘再累加。(因为系统的输出只与输入x有关系，而H不变，即h也不变)
当该系统是时不变系统时，则将n-q带入系统，带来了巨大的变化。
由h构成的矩阵H叫做托普利兹矩阵托普利兹矩阵托普利兹矩阵
该矩阵的特点是： 对角线方向上的元素全部相同
而这个性质使得通过个一个向量就可以存储整个矩阵的信息。
第0列就含有全部信息（注意0的位置，在矩阵的中心），矩阵的其他元素都是沿着对角线方向复制。
另外，时间反序的第0行（第0行，改行的时间反序）。
根据上面性质，得到新的矩阵表示形式，每个元素的值hn,m=h[n-m]
线行时不变系统的矩阵结构（有限长度信号）-Matrix Structure of LTI Systems (Finite-Length Signals)
长度为N的输入信号，经过线性系统，得到长度为N的输出信号。其矩阵表示为：第n个输出信号y[n]等于H矩阵的第n行，该行的每个对应第m个元素与输入信号x的第m个元素相乘，最后再相加。
对系统加入时不变性质，即输入x[n-q]对应输出y[n-q]。所以系统H矩阵不变，而原来的m元素变为m-q（注意m和n的转换，因为H用n表示行，所以用m表示元素个数），通过模运算表示为：(m-q)N
进一步将n‘=n-q合m‘=m-q进行代替，这一步就是将系统的表达换为x[n]和y[n]的形式，注意H坐标的变化。
所以，我们得到了输入为x[n],对应输出为y[n]，所以说明H矩阵具有特殊形式如下：
将矩阵全部表带出来，就是对角线方向的值完全相同：
因为矩阵中的元素是不断进行圆环模运算的结果，所以，第o列的元素包含了全部矩阵的信息（与之对应的时第0行的元素的环状时序反转）。
注意：后面的矩阵只需用一个序号n就可以了，这个在卷积的计算中太有用了！！！这个在卷积的计算中太有用了！！这个在卷积的计算中太有用了！！
上述结果的图像表示：
总结：
线性时不变系统=线性+时不变。是信号处理系统的基础。
无限信号系统=托普利兹矩阵（Toeplitz matrix H），该矩阵具有特殊形式：
与之对应，有限信号的系统为循环矩阵（circulant matrix ）
这两个矩阵不再使用下标表示矩阵，很重要。
离散时间信号与系统：4