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数论 --- 斐波纳挈数列公式的变形

2024-07-18 15:32:22   218人阅读

 

Fibonacci

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3515    Accepted Submission(s): 1601


Problem Description
2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。
 

 

Input
输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。
 

 

Output
输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。
 

 

Sample Input
012345353637383940
 

 

Sample Output
011235922714932415390863241023
 

 

Source
Happy 2007
  

 

Mean: 

略 

analyse:

 这题需要用到fibonacci数列的公式：F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

在这个公式中后半部分： - [(1-√5)/2]^n 的误差在0~1之间，但对于n比较大时，他的误差就越小，所以一般情况可以忽略；

公式就变为了：F(n)=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n] ;

这题要我们输出前四位，直接用公式是肯定会超的，所以要变形：

由于m^n=10^(n*log10(m));
先将n*log10(m)算出来，取其小数部分，再10的乘方，得整数部分为最m^n第一位数，继续乘10直到为4为数为止

 

Time complexity：O(n)

 

Source code：

 

//Memory   Time// 1347K   0MS// by : Snarl_jsb#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<vector>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<string>#include<climits>#include<cmath>#define MAX 1100#define LL long longusing namespace std;int main(){//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.txt","r",stdin);//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.txt","w",stdout);    int a[25];    a[0]=0,a[1]=1;    for(int i=2;i<=21;i++)        a[i]=a[i-1]+a[i-2];    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        if(n<=20)        {            printf("%d\n",a[n]);            continue;        }       double x=sqrt(5*1.0); double y=log10(1/x);       double z=n*log10(((x+1)/2));double p=y+z;       double q=p-(int)p;double xx=pow(double(10),q);       for(int i=1;;++i)       {         xx*=10;         if(xx>10000)             break;       }       printf("%d\n",((int)xx)/10);    }    return 0;}

 

　　

 


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