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数据结构快速回顾——平衡二叉树 AVL (转)
平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是二叉查找树的一个进化体,也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年,G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树,所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说,它的左右子树的高度之差不能超过1,如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1,就要进行节点之间的旋转,将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题,把插入,查找,删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间,不过相对二叉查找树来说,时间上稳定了很多。
平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的(学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树),区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡,维持平衡需要借助一个节点高度的属性。我参考了机械工业出版社的《数据结构与算法分析-C语言描述》写了一个C++版的代码。这本书的AVLTree讲的很好,不过没有很完整的去描述。我会一步一步的讲解如何写平衡二叉树,重点是平衡二叉树的核心部分,也就是旋转算法。
第一步:节点信息
相对于二叉查找树的节点来说,我们需要用一个属性二叉树的高度,目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。
代码如下:
1 class tnode 2 { 3 public: 4 int val; 5 int hgt; 6 int freq; 7 tnode* pleft; 8 tnode* pright; 9 tnode(int v):val(v),hgt(0),freq(1),pleft(NULL),pright(NULL){};10 tnode():val(0x7fffffff),hgt(0),freq(1),pleft(NULL),pright(NULL){};11 12 };
第二步:声明头结点
tnode *head;
第三步:两个辅助方法
旋转算法需要借助于两个功能的辅助,一个是求树的高度,一个是求两个高度的最大值。这里规定,一棵空树的高度为-1,只有一个根节点的树的高度为0,以后每多一层高度加1。为了解决指针NULL这种情况,写了一个求高度的函数,这个函数还是很有必要的。
代码如下:
1 int height(tnode *t)2 {3 if(t)4 return t->hgt;5 else6 return -1;7 }
第四步:旋转
对于一个平衡的节点,由于任意节点最多有两个儿子,因此高度不平衡时,此节点的两颗子树的高度差2.容易看出,这种不平衡出现在下面四种情况:
1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2,左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点,这种情况成为左左。
2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2,左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点,这种情况成为左右。
3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2,右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点,这种情况成为右左。
4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2,右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点,这种情况成为右右。
从图2中可以可以看出,1和4两种情况是对称的,这两种情况的旋转算法是一致的,只需要经过一次旋转就可以达到目标,我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的,这两种情况的旋转算法也是一致的,需要进行两次旋转,我们称之为双旋转。
第五步:单旋转
单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案,这两种情况是对称的,只要解决了左左这种情况,右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案,节点k2不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的左子树X子树,所以属于左左情况。
为使树恢复平衡,我们把k2变成这棵树的根节点,因为k2大于k1,把k2置于k1的右子树上,而原本在k1右子树的Y大于k1,小于k2,就把Y置于k2的左子树上,这样既满足了二叉查找树的性质,又满足了平衡二叉树的性质。
这样的操作只需要一部分指针改变,结果我们得到另外一颗二叉查找树,它是一棵AVL树,因为X向上一移动了一层,Y还停留在原来的层面上,Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同,插入操作使得X高度长高了。因此,由于这颗子树高度没有变化,所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。
代码如下:
1 //左左旋转 2 void LLRotate(tnode *&tree) 3 { 4 tnode *tmp; 5 tmp = tree->pleft; 6 tree->pleft = tmp->pright; 7 tmp->pright = tree; 8 9 tree->hgt=max(height(tree->pleft),height(tree->pright))+1;10 tmp->hgt= max(height(tmp->pleft),tree->hgt)+1;11 //12 tree = tmp;13 }14 15 //右右旋转 16 void RRRotate(tnode *&tree)17 {18 tnode *tmp;19 tmp = tree->pright;20 tree->pright=tmp->pleft;21 tmp->pleft=tree;22 23 tree->hgt=max(height(tree->pleft),height(tree->pright))+1;24 tmp->hgt= max(height(tmp->pleft),tree->hgt)+1;25 26 tree = tmp;27 }
第六步:双旋转
对于左右和右左这两种情况,单旋转不能使它达到一个平衡状态,要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案,同样的,这样两种情况也是对称的,只要解决了左右这种情况,右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案,节点k3不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的右子树k2子树,所以属于左右情况。
为使树恢复平衡,我们需要进行两步,第一步,把k1作为根,进行一次右右旋转,旋转之后就变成了左左情况,所以第二步再进行一次左左旋转,最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。
代码如下:
1 //左右旋转 2 void LRRotate(tnode *&tree) 3 { 4 RRRotate(tree->pleft); 5 LLRotate(tree); 6 } 7 8 //右左旋转 9 void RLRotate(tnode *&tree)10 {11 LLRotate(tree->pright);12 RRRotate(tree); 13 }
第七步:插入
插入的方法和二叉查找树基本一样,区别是,插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径,每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。
代码如下:
1 void insert(tnode *&tree,int v) 2 { 3 if(tree == NULL) 4 { 5 tree = new tnode(v); 6 return; 7 } 8 if(tree->val > v) 9 {10 insert(tree->pleft,v);11 if(2 == height(tree->pleft)-height(tree->pright))12 {13 if(v<tree->pleft->val)14 LLRotate(tree);15 else16 LRRotate(tree);17 }18 }19 else if(tree->val < v)20 {21 insert(tree->pright,v);22 if( 2 == height(tree->pright)-height(tree->pleft))23 {24 if(v > tree->pright->val)25 RRRotate(tree);26 else27 RLRotate(tree);28 }29 }30 else31 (tree->freq)++;32 33 tree->hgt = max(height(tree->pleft),height(tree->pright))+1;34 }
第八步:中序遍历
代码如下:
1 void inOrder(tnode *tree)2 {3 if(tree == NULL)return;4 inOrder(tree->pleft);5 // printf("%d\t",tree->val);6 printf("num:%d\thgt:%d\t",tree->val,tree->hgt);7 inOrder(tree->pright);8 }
第十一步:关于效率
此数据结构插入、查找和删除的时间复杂度均为O(logN),但是插入和删除需要额外的旋转算法需要的时间,有时旋转过多也会影响效率。
关于递归和非递归。我用的是递归的方法进行插入,查找和删除,而非递归的方法一般来说要比递归的方法快很多,但是我感觉非递归的方法写出来会比较困难,所以我还是选择了递归的方法。
还有一种效率的问题是关于高度信息的存储,由于我们需要的仅仅是高度的差,不需要知道这棵树的高度,所以只需要使用两个二进制位就可以表示这个差。这样可以避免平衡因子的重复计算,可以稍微的加快一些速度,不过代码也丧失了相对简明性和清晰度。如果采用递归写法的话,这种微加速就更显得微乎其微了。
由于原文在左旋右旋函数中忘记更新父类节点的指向、插入函数中节点高度的计算忘记+1;本文对其内容介绍摘抄过来,但是修正了相应的函数。
摘自:http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2014/03/02/187776.html