题目一：查找最小的k个元素

输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

分析：这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。只是这种思路的时间复杂度为O(nlogn)。我们试着寻找更快的解决思路。

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字。接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。我们找出这已有的k个数中最大值，然和拿这次待插入的整数和这个最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换替换当前已有的最大值；如果带插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，因为我们容器内已经有k个数字比它小了，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做三件事情：一是在k个整数中找到最大数，二是有可能在这个容器中删除最大数，三是可能要插入一个新的数字，并保证k个整数依然是排序的。如果我们用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于我们每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除以及插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码。我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规则确保树是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入操作都只需要O(logk)。在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的。如果面试官不反对我们用STL中的数据容器，我们就直接拿过来用吧。下面是基于STL中的multiset的参考代码：

typedef multiset<int, greater<int> >  IntHeap;

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// find k least numbers in a vector
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
void FindKLeastNumbers(
    const vector<int>& data,               // a vector of data
    IntHeap& leastNumbers,                 // k least numbers, output
    unsigned int k)
{
    leastNumbers.clear();

    if (k == 0 || data.size() < k)
    {
        return;
    }

    vector<int>::const_iterator iter = data.begin();
    for (; iter != data.end(); ++iter)
    {
        // if less than k numbers was inserted into leastNumbers
        if ((leastNumbers.size()) < k)
            leastNumbers.insert(*iter);

        // leastNumbers contains k numbers and it's full now
        else
        {
            // first number in leastNumbers is the greatest one
            IntHeap::iterator iterFirst = leastNumbers.begin();

            // if is less than the previous greatest number 
            if (*iter < *(leastNumbers.begin()))
            {
                // replace the previous greatest number
                leastNumbers.erase(iterFirst);
                leastNumbers.insert(*iter);
            }
        }
    }
}

题目二：二元树中和为某一值的所有路径

输入一个整数和一棵二元树。从树的根结点开始往下访问一直到叶结点所经过的所有结点形成一条路径。打印出和与输入整数相等的所有路径。

例如输入整数22和如下二元树

                                           10
                                          /   \
                                         5     12
                                      /   \   
                                    4    7 

则打印出两条路径：10, 12和10, 5, 7。

struct BinaryTreeNode // a node in the binary tree
{
    int              m_nValue; // value of node
    BinaryTreeNode  *m_pLeft;  // left child of node
    BinaryTreeNode  *m_pRight; // right child of node
};

分析：这是百度的一道笔试题，考查对树这种基本数据结构以及递归函数的理解。

当访问到某一结点时，把该结点添加到路径上，并累加当前结点的值。如果当前结点为叶结点并且当前路径的和刚好等于输入的整数，则当前的路径符合要求，我们把它打印出来。如果当前结点不是叶结点，则继续访问它的子结点。当前结点访问结束后，递归函数将自动回到父结点。因此我们在函数退出之前要在路径上删除当前结点并减去当前结点的值，以确保返回父结点时路径刚好是根结点到父结点的路径。我们不难看出保存路径的数据结构实际上是一个栈结构，因为路径要与递归调用状态一致，而递归调用本质就是一个压栈和出栈的过程。

参考代码：

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find paths whose sum equal to expected sum
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
void FindPath(
    BinaryTreeNode*   pTreeNode,    // a node of binary tree
    int               expectedSum,  // the expected sum
    std::vector<int>& path,         // a path from root to current node
    int&              currentSum    // the sum of path
    )
{
    if (!pTreeNode)
        return;

    currentSum += pTreeNode->m_nValue;
    path.push_back(pTreeNode->m_nValue);

    // if the node is a leaf, and the sum is same as pre-defined, 
    // the path is what we want. print the path
    bool isLeaf = (!pTreeNode->m_pLeft && !pTreeNode->m_pRight);
    if (currentSum == expectedSum && isLeaf)
    {
        std::vector<int>::iterator iter = path.begin();
        for (; iter != path.end(); ++iter)
            std::cout << *iter << '\t';
        std::cout << std::endl;
    }

    // if the node is not a leaf, goto its children
    if (pTreeNode->m_pLeft)
        FindPath(pTreeNode->m_pLeft, expectedSum, path, currentSum);
    if (pTreeNode->m_pRight)
        FindPath(pTreeNode->m_pRight, expectedSum, path, currentSum);

    // when we finish visiting a node and return to its parent node,
    // we should delete this node from the path and 
    // minus the node's value from the current sum
    currentSum -= pTreeNode->m_nValue;
    path.pop_back();
}

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菜鸟系列之C/C++经典试题(四)