1.一般概念   对于数值级数:$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n $                      ①    

若存在有穷极限： $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$(级数和）

其中  $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,$

则级数①称为收敛的.反之，级数①称为发散的.

     2.柯西准则   级数①收敛的充要条件是：对于任何$\varepsilon>0 $都存在$N=N(\varepsilon),$使得当$n>N$和$p>0$($n$和$p$为自然数）时，下列不等式成立

                              $|S_{n+p}-S_n|=|\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}a_i|<\varepsilon$

     特别是若级数收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$.                                             ②

     3.比较判别法1   除级数①之外，假设有以下级数：

           $b_1+b_2+\cdots+b_n+\cdots.$

     若当$n\ge  n_0$时，以下不等式成立：

           $0\le  a_n\le b_n$,

则：$(1)$由级数②收敛可推出级数①收敛； $(2)$由级数①发散可推出级数②发散.

特别是当$n\to\infty$时,若$a_n \sim b_n,$则正项级数①和②同时收敛或同时发散.

      4.比较判别法2  设

         $a_n=O(\frac{1}{n^p}),$

则：$(1)$当$q\le 1$时，级数①发散，$(2)$当$q>1$时收敛.

      5.达朗贝尔判别法   若$a_n>0$                               $      (n=1,2,\cdots),$

且    $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q,$

则：$(1)$当$q<1$时，级数①收敛；$(2)$当$q>1$时级数①发散.   

      6.柯西判别法  若$a_n\ge0 $                                   $    (n=1,2,\cdots),$

且    $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q,$

则：$(1)$当$q<1$时，级数①收敛；当$q>1$时级数①发散.

      7.拉阿比判别法    若$a_n>0$      $(n=1,2,3,\cdots),$

且      $\lim\limits_{n\to\infty}n(\frac{a_0}{a_{n+1}}-1)=p,$

则：$(1)$当$p>1$时，级数①收敛；$(2)$当$p<1$时，级数①发散.

      8.高斯判别法   若$a_n>0   $              $(n=1,2,\cdots),$

且   $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda+\frac{\mu}{n}+\frac{\theta_n}{n^{1+\varepsilon}},$

其中$|\theta_n|<C,$而$\varepsilon>0,$则：$(1)$当$\lambda>1$时，级数①发散；$(2)$当$\lambda<1$时级数①发散；$(3)$当$\lambda=1$时，若$\mu>1,$级数①收敛，若$\mu\le 1$则发散.

      9.柯西积分判别法   若$f(x)(x\ge1)$为非负递减连续函数，则级数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)$与积分$\int_1^{+\infty}f(x)dx$同时收敛或发散.

摘自吉米多维奇数学分析精选精解