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【级数】 求和

2024-07-02 17:35:36   228人阅读

证明

∑n=0∞(n!)22n+1(2n+1)!=π
<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}=\pi</script> 

 

分析：这道题初看具有难度运用幂级数恐难解决，由分子分母的特性易想到 $\Gamma$函数然后利用$\Gamma$函数与$\beta$函数的关系即可。

 

Proof： 

 
∑n=0∞(n!)22n+1(2n+1)!=∑n=0∞∫10tn(1?t)n2n+1dt=2∫10∑0∞tn(1?t)n2ndt=∫101(t?12)+14dt=2 arctan2(t?12)|10=π
<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex; mode=display">\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}t^{n}(1-t)^{n}2^{n+1}dt\\&=2\int_{0}^{1}\sum_{0}^{\infty}t^{n}(1-t)^{n}2^{n}dt\\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{(t-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}}dt\\&=2 \arctan2(t-\frac{1}{2})|_{0}^{1}\\&=\pi\end{align*}</script>  

 

Remark：交换积分与极限的次序用到了 Levi 渐升定理。


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