设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.

证明: 由 $f\in L(\bbR)$ 知 $|f|\in L(\bbR)$ (see [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 109 (vi)). 既然 $$\bex \vsm{n} \int |f(n^2x)|\rd x =\vsm{n} \frac{1}{n}^2\int |f(t)|\rd t <\infty, \eex$$ 我们有 (see [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 116 定理 7) $$\bex \int \vsm{n} f(n^2x)\rd x =\vsm{n} \int f(n^2x)\rd x =\vsm{n} \frac{1}{n^2}\int f(t)\rd t. \eex$$ 按照 [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 108 (ii) 即知 $$\bex \vsm{n} f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处有限, 而收敛.