设幂级数 $\dps{g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}$ 在 $|x|<1$ 内收敛, 且 $\dps{\sum_{n=0}^\infty a_n=s}$ 收敛. 则 $$\bex \lim_{x\to 1^-} g(x)=s. \eex$$

证明: 记 $s_n=a_0+\cdots +a_n$, 则 $\dps{\vlm{n}s_n=s}$. 写出 $$\beex \bea \sum_{k=0}^n a_kx^k &=a_0+\sum_{k=1}^n (s_k-s_{k-1})x^k\\ &=a_0+\sum_{k=1}^n s_kx^k-\sum_{k=0}^{n-1}s_kx^{k+1}\\ &=a_0+\sum_{k=1}^{n-1} s_kx^k(1-x) +s_nx^n-s_0x\\ &=s_0(1-x)+\sum_{k=1}^{n-1} s_kx^k(1-x) +s_nx^n\\ &=\sum_{k=0}^{n-1} s_kx^k(1-x) +s_nx^n\quad\sex{|x|<1}. \eea \eeex$$ 令 $n\to\infty$ 有 $$\bex g(x)=\sum_{k=0}^\infty s_kx^k(1-x), \eex$$ 又 $\dps{\vlm{n}s_n=s}$, $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N,\st k>N\ra |s_k-s|<\ve. \eex$$ 而 $$\beex \bea |g(x)-s| &=\sev{(1-x)\sum_{k=0}^\infty (s_k-s)x^k}\\ &\leq (1-x) \sum_{k=0}^N |s_k-s|\cdot |x|^k +\sum_{k=N+1}^\infty|s_k-s|\cdot |x|^k\\ &\leq (1-x) \sum_{k=0}^N |s_k-s|+\ve. \eea \eeex$$ 令 $x\to 1^-$ 有 $$\bex \lim_{x\to 1^-}|g(x)-s|\leq \ve. \eex$$ 由 $\ve$ 的任意性即知 $$\bex \lim_{x\to 1^-}|g(x)-s|=0. \eex$$

[再寄小读者之数学篇](2014-11-24 Abel 定理)