设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $\dps{f(1)=3\int_0^{1/3} e^{x-1}f(x)\rd x}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f(\xi)+f‘(\xi)=0$.

证明: 取 $F(x)=e^xf(x)$, 则由中值定理, $$\bex \exists\ \eta\in (0,1/3),\st F(1)=ef(1)=3\int_0^{1/3}e^xf(x)\rd x=\eta f(\eta)=F(\eta). \eex$$ 再由 Rolle 定理, $$\bex \exists\ \xi\in (0,\eta)\subset (0,1),\st 0=F‘(\xi)=e^\xi[f(\xi)+f‘(\xi)]. \eex$$