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【codeforces 749E】 Inversions After Shuffle

http://codeforces.com/problemset/problem/749/E (题目链接)

题意

  给出一个1~n的排列,从中等概率的选取一个连续段,设其长度为l。对连续段重新进行等概率的全排列,求排列后整个原序列的逆序对的期望个数。

Solution

  考虑对于每一对数${(a_i,a_j),i<j}$算贡献。


   1.连续段包含${a_i,a_j}$

  不妨设${a_i<a_j}$,则只有当排列后${a_j}$再${a_i}$前面才会对答案有贡献(${a_i>a_j}$的情况同理),连续段长度为${l}$。

  于是满足${a_i}$在${a_j}$前面的排列数为${P_l^{l-2}}$,概率:${\frac{P_l^{l-2}}{P_l^l}=\frac{1}{2}}$。

  满足包含${a_i}$和${a_j}$的连续段有${i*(n-j+1)}$个,其概率为:${\frac{2*i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$。

  所以其期望等于两个概率相乘:

  $${q_{i,j}=\frac{i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$$

  这是${O(n^2)}$的,考虑优化。总期望:

  $${Q=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=i+1}^n  q_{i,j}}$$

  $${Q=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=i+1}^n  \frac{i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$$

  发现${(n-j+1)}$是连续的,于是就变成了:

  $${Q=\sum_{i=1}^n  \frac {i*(n-i)*(n-i+1)} {2*n*(n+1)}}$$

  这样复杂度就是${O(n)}$的了。


  2.连续段不同时包含${a_i,a_j}$

  如果${a_i<a_j}$,那么因为不被连续段同时包含,它们不会有机会改变相对位置,所以不会对答案做出贡献。考虑${a_i>a_j}$的情况。

  那么连续段可能取到的区间有:${[1,j-1],[i+1,n]}$。考虑到区间${[i+1,j-1]}$被算了2次,容斥一下,所以区间的概率:

$${P=\frac  {(j-1)*j+(n-i)*(n-i+1)-(j-i-1)*(i-j)}  {n*(n+1)}}$$

  然后好像用树状数组可以做,先坑着。。发个${O(n^2)}$的代码。

细节

代码

// codeforces 749E#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>#define LL long long#define inf 1<<30#define Pi acos(-1.0)#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);using namespace std;const int maxn=100010;LL c[maxn],s[maxn];int n,a[maxn];double ans;int main() {	scanf("%d",&n);	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);	for (int i=1;i<=n;i++)		ans+=(double)(i*(n-i)*(n-i+1))/(2*n*(n+1));	for (int i=1;i<=n;i++)		for (int j=i+1;j<=n;j++)			if (a[i]>a[j])				ans+=(double)((j-1)*j+(n-i)*(n-i+1)-(j-i-1)*(j-i))/(n*(n+1));	printf("%.12lf",ans);	return 0;}

 

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