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石子合并的动态规划问题
题目大概都是这样的:
设有N堆沙子排成一排,其编号为1,2,3,…,N(N<=300)。每堆沙子有一定的数量,可以用一个整数来描述,现在要将这N堆沙子合并成为一堆,每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆沙子的数量之和,合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻,合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同,如有4堆沙子分别为 1 3 5 2 我们可以先合并1、2堆,代价为4,得到4 5 2 又合并 1,2堆,代价为9,得到9 2 ,再合并得到11,总代价为4+9+11=24,如果第二步是先合并2,3堆,则代价为7,得到4 7,最后一次合并代价为11,总代价为4+7+11=22;问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小。输出最小代价。
dp的方程很显然:
区间DP dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j]) i<=k<=j 复杂度 N^3
这同时也是一个四边形优化DP的标准形式,对于i到j段的最优值s[i][j]满足: s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
可以减小枚举范围,复杂度N^2
TYVJ 1055:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=1100; const int INF=0x3f3f3f3f; int n,a[maxn]; int sum[maxn]; int dp[maxn][maxn],s[maxn][maxn]; int main() { while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",a+i); sum[i]=sum[i-1]+a[i]; } for(int i=1;i<=n;i++) { s[i][i]=i; } for(int len=2;len<=n;len++) { for(int i=1;i+len-1<=n;i++) { int j=i+len-1; dp[i][j]=INF; for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j]&&k<j;k++) { int temp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]; if(temp<dp[i][j]) { dp[i][j]=temp; s[i][j]=k; } } } } printf("%d\n",dp[1][n]); } return 0; }
如果n非常大,时间和空间都不满足。
可以用GarsiaWachs算法:
http://fanhq666.blog.163.com/blog/static/81943426201062865551410/
石子合并(每次合并相邻的两堆石子,代价为这两堆石子的重量和,把一排石子合并为一堆,求最小代价) 是一个经典的问题。dp可以做到O(n*n)的时间复杂度,方法是: 设f[i,j]为合并从i到j的石子所用最小代价。 f[i,j]=min(sum(i,j)+f[i,k]+f[k+1,j])对所有i<=k<j,其中sum(i,j)表示从i到j的石子重量之和。 设上式取等时k的值为w[i,j],有神牛证明过:w[i,j]>=w[i,j-1],w[i,j]<=w[i+1,j] 这样,枚举k的时候,就有了一个上下界,从而搞掉了一维。 而GarsiaWachs算法可以把时间复杂度压缩到O(nlogn)。 具体的算法及证明可以参见《The Art of Computer Programming》第3卷6.2.2节Algorithm G和Lemma W,Lemma X,Lemma Y,Lemma Z。 只能说一个概要吧: 设一个序列是A[0..n-1],每次寻找最小的一个满足A[k-1]<=A[k+1]的k,(方便起见设A[-1]和A[n]等于正无穷大) 那么我们就把A[k]与A[k-1]合并,之后找最大的一个满足A[j]>A[k]+A[k-1]的j,把合并后的值A[k]+A[k-1]插入A[j]的后面。 有定理保证,如此操作后问题的答案不会改变。 举个例子: 186 64 35 32 103 因为35<103,所以最小的k是3,我们先把35和32删除,得到他们的和67,并向前寻找一个第一个超过67的数,把67插入到他后面 186 64(k=3,A[3]与A[2]都被删除了) 103 186 67(遇到了从右向左第一个比67大的数,我们把67插入到他后面) 64 103 186 67 64 103 (有定理保证这个序列的答案加上67就等于原序列的答案) 现在由5个数变为4个数了,继续! 186 (k=2,67和64被删除了)103 186 131(就插入在这里) 103 186 131 103 现在k=2(别忘了,设A[-1]和A[n]等于正无穷大) 234 186 420 最后的答案呢?就是各次合并的重量之和呗。420+234+131+67=852,哈哈,算对了。 证明嘛,基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束,之后 证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应,并保证节点移动之后他所在的 深度不会改变。详见TAOCP。 具体实现这个算法需要一点技巧,精髓在于不停快速寻找最小的k,即维护一个“2-递减序列” 朴素的实现的时间复杂度是O(n*n),但可以用一个平衡树来优化(好熟悉的优化方法),使得最终复杂度为O(nlogn) 事情并没有结束。 我在poj1738上看到了一个50000个数的石子合并,很痛苦地想:要写平衡树了:( 但是当我把朴素实现的代码 http://cid-354ed8646264d3c4.office.live.com/self.aspx/.Public/1738.cpp 交上去的时候,发现,AC了?! 为什么? 平方的复杂度,50000的数据...... 我着手分析。 首先,每次combine()(见源代码)操作的时候,并不一定都会访问到整个数组。 从随机的角度来讲,新合并出来的石子堆相比那些已经合并许许多多次的石子堆来说, 并不是很“牛”。因为他并不很牛,所以j的值也不比k小得了多少。 并且我们维护的“2-递减”序列本身就有一个很强的序的关系,所以从某种感觉上讲,combine()递归调用的次数很少。 这只是一个感性的想法,实际上,它唯一能够提供给我们的想法是:隐藏在O(n*n)里的常数非常小! 有多小?自己测试一下,(我的笔记本比较慢)大约实际时间=0.00000036*n*n毫秒 但即使这样,按照多组数据的时间换算一下,还是应该超时的呀。 看题目最后一句话: For each test case output the answer on a single line.You may assume the answer will not exceed 1000000000. 这句话等价于:每个数都不会很大(要合并49999次呢!),继续等价于:有好多数是相同的。 即使这样,又有什么不同呢? 当然了! 我绘制了一幅平均每次k-j的值关于n的图像 其中橘红色的列是我生成的随机的实数作为数据测的结果,而蓝色的是随机生成的[1,1024]间的整数测得的结果。 很明显,小范围的数据大大“加速”了算法,甚至可能引起复杂度上的差异。 就是这样,让本该写一个平衡树的题用数组AC了。 呵呵。 呵呵。
poj 1738
bzoj 3229
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=55000; int a[maxn]; int n,t,ans; void combin(int k) { int temp=a[k]+a[k-1]; ans+=temp; for(int i=k;i+1<t;i++) { a[i]=a[i+1]; } t--; int j=k-1; for(;j>0&&a[j-1]<temp;j--) { a[j]=a[j-1]; } a[j]=temp; while(j>2&&a[j-2]<=a[j]) { int d=t-j; combin(j-1); j=t-d; } } int main() { while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",a+i); t=1,ans=0; for(int i=1;i<n;i++) { a[t++]=a[i]; while(t>=3&&a[t-3]<=a[t-1]) combin(t-2); } while(t>1) combin(t-1); printf("%d\n",ans); } return 0; } /* 5 186 64 35 32 103 */
石子合并的动态规划问题
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