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(转)石子合并问题
本文转自
http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18039073
石子合并问题是最经典的DP问题。首先它有如下3种题型：
(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：当然这种情况是最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并。本问题实际上就是哈夫曼的变形。
(2)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。
设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 5 using namespace std; 6 const int INF = 1 << 30; 7 const int N = 205; 8 9 int dp[N][N];10 int sum[N];11 int a[N];12 13 int getMinval(int a[],int n)14 {15 for(int i=0;i<n;i++)16 dp[i][i] = 0;17 for(int v=1;v<n;v++)18 {19 for(int i=0;i<n-v;i++)20 {21 int j = i + v;22 dp[i][j] = INF;23 int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0);24 for(int k=i;k<j;k++)25 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j] + tmp);26 }27 }28 return dp[0][n-1];29 }30 31 int main()32 {33 int n;34 while(scanf("%d",&n)!=EOF)35 {36 for(int i=0;i<n;i++)37 scanf("%d",&a[i]);38 sum[0] = a[0];39 for(int i=1;i<n;i++)40 sum[i] = sum[i-1] + a[i];41 printf("%d\n",getMinval(a,n));42 }43 return 0;44 }
直线取石子问题的平行四边形优化：
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 5 using namespace std; 6 const int INF = 1 << 30; 7 const int N = 1005; 8 9 int dp[N][N];10 int p[N][N];11 int sum[N];12 int n;13 14 int getMinval()15 {16 for(int i=1; i<=n; i++)17 {18 dp[i][i] = 0;19 p[i][i] = i;20 }21 for(int len=1; len<n; len++)22 {23 for(int i=1; i+len<=n; i++)24 {25 int end = i+len;26 int tmp = INF;27 int k = 0;28 for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++)29 {30 if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp)31 {32 tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1];33 k = j;34 }35 }36 dp[i][end] = tmp;37 p[i][end] = k;38 }39 }40 return dp[1][n];41 }42 43 int main()44 {45 while(scanf("%d",&n)!=EOF)46 {47 sum[0] = 0;48 for(int i=1; i<=n; i++)49 {50 int val;51 scanf("%d",&val);52 sum[i] = sum[i-1] + val;53 }54 printf("%d\n",getMinval());55 }56 return 0;57 }
(3)问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，如果把石子改为环形排列，又怎么做呢？
分析：状态转移方程为：
其中有：
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 5 using namespace std; 6 const int INF = 1 << 30; 7 const int N = 205; 8 9 int mins[N][N];10 int maxs[N][N];11 int sum[N],a[N];12 int minval,maxval;13 int n;14 15 int getsum(int i,int j)16 {17 if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n);18 else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);19 }20 21 void Work(int a[],int n)22 {23 for(int i=0;i<n;i++)24 mins[i][0] = maxs[i][0] = 0;25 for(int j=1;j<n;j++)26 {27 for(int i=0;i<n;i++)28 {29 mins[i][j] = INF;30 maxs[i][j] = 0;31 for(int k=0;k<j;k++)32 {33 mins[i][j] = min(mins[i][j],mins[i][k] + mins[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));34 maxs[i][j] = max(maxs[i][j],maxs[i][k] + maxs[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));35 }36 }37 }38 minval = mins[0][n-1];39 maxval = maxs[0][n-1];40 for(int i=0;i<n;i++)41 {42 minval = min(minval,mins[i][n-1]);43 maxval = max(maxval,maxs[i][n-1]);44 }45 }46 47 int main()48 {49 while(scanf("%d",&n)!=EOF)50 {51 for(int i=0;i<n;i++)52 scanf("%d",&a[i]);53 sum[0] = a[0];54 for(int i=1;i<n;i++)55 sum[i] = sum[i-1] + a[i];56 Work(a,n);57 printf("%d %d\n",minval,maxval);58 }59 return 0;60 }
可以看出，上面的(2)(3)问题的时间复杂度都是O(n^3)，由于过程满足平行四边形法则，故可以进一步优化到O(n^2)。
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