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bzoj2324[ZJOI2011]营救皮卡丘

2024-09-01 11:05:41   220人阅读

题面:一张无向带权连通图,点数n+1(标号0…n),边数m,现在有k个人在0号点,要求依次摧毁1,2,3….n号点.假如至少一个人经过了点x,就认为点x被摧毁了.只有编号比x小的点都被摧毁才能经过点x. k个人可以分头行动.被摧毁的点在摧毁之后可以经过.满足要求的前提下,求k个人经过的路径长度之和的最小值.(即每个人走过的路径长度加起来,一个人走一条路多次时长度应多次计算). n<=150,m<=20000,1<=k<=10,边权<=10000

分析:每个点都必须经过一次,有k个人,这让我们想到网络流中DAG的最小权路径覆盖问题,但这里的图是无向图且有一些经过顺序的限制,并且点和边都能够多次使用.不过,每个点都只会被摧毁一次,从这个角度入手,我们考虑一个人依次摧毁的所有点,它们一定满足编号递增,也就是”一个人摧毁了一个编号较小的点之后,如果没有停下,一定会摧毁一个编号比它更大的点”,这好像有一些DAG的特征.仔细观察,我们发现,如果一个人摧毁点u之后再去摧毁点v,所需经过的最短路径长度就是从u到v只经过编号小于v的点时的最短路,这个是可以预处理的.可以floyd,也可以n遍dijkstra.我觉得dijkstra比较好理解,每次跑经过编号小于s的点到达s的最短路,可以直接限制经过的点的编号.于是我们建出一个n+1个点的竞赛图,边都从编号小的点u指向编号大的点v,边权为一个人摧毁u后再前往v的最短路(经过编号小于v的点),如果u=0,表示从0前往v的最短路,同样经过编号小于v的点.

然后拆点,除了0和n,每个点拆成入点和出点(0只有出点,n只有入点)

对于一条边(u,v),从u的出点向v的入点连一条费用等于边权的边

从源点向1到n-1每个点的出点连一条流量为1费用为0的边

从源点向0连一条流量为k费用为0的边(限制k个人)

从每个点的入点向汇点连一条流量为1费用为0的边,这样的图上每个最大流的方案都对应一种可行的方案.跑最小费用最大流即可.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,k;
int d[155][155];
namespace Mincost{
  const int maxn=500,maxm=300000;
  struct edge{
    int to,next,w,cost;
  }lst[maxm];int len=0,first[maxm];
  void addedge(int a,int b,int w,int cost){
    lst[len].to=b;lst[len].next=first[a];lst[len].w=w;lst[len].cost=cost;first[a]=len++;
    lst[len].to=a;lst[len].next=first[b];lst[len].w=0;lst[len].cost=-cost;first[b]=len++;
  }
  bool inq[maxn];int q[maxn],dis[maxn],vis[maxn],prt[maxn],head,tail,s,t,T;
  bool spfa(){
    head=tail=0;q[tail++]=s;dis[s]=0;prt[s]=-1;vis[s]=++T;inq[s]=true;
    while(head!=tail){
      int x=q[head++];head%=maxn;inq[x]=false;
      for(int pt=first[x];pt!=-1;pt=lst[pt].next){
    if(lst[pt].w==0)continue;
    if(vis[lst[pt].to]!=T||dis[lst[pt].to]>dis[x]+lst[pt].cost){
      dis[lst[pt].to]=dis[x]+lst[pt].cost;vis[lst[pt].to]=T;
      prt[lst[pt].to]=pt;
      if(!inq[lst[pt].to]){
        q[tail++]=lst[pt].to;inq[lst[pt].to]=true;tail%=maxn;
      }
    }
      }
    }
    return vis[t]==T;
  }
  int mincost(){
    int ans=0;
    while(spfa()){
      ans+=dis[t];
      for(int pt=prt[t];pt!=-1;pt=prt[lst[pt^1].to]){
    lst[pt].w--;lst[pt^1].w++;
      }
    }
    return ans;
  }
  void build(){
    memset(first,-1,sizeof(first));
    s=2*n+1;t=2*n+2;
    addedge(s,0,k,0);
    for(int i=1;i<=n;++i)addedge(s,i,1,0);
    for(int i=1;i<=n;++i)addedge(n+i,t,1,0);
    for(int i=1;i<=n;++i)addedge(0,n+i,1,d[0][i]);
    for(int i=1;i<=n;++i){
      for(int j=i+1;j<=n;++j){
    addedge(i,n+j,1,d[i][j]);
      }
    }
  }
};
namespace Init{
  const int maxn=200,maxm=40005;
  struct edge{
    int to,next,w;
  }lst[maxm];int len=1,first[maxn];
  void addedge(int a,int b,int w){
    lst[len].to=b;lst[len].next=first[a];lst[len].w=w;first[a]=len++;
  }
  int dis[maxn];bool vis[maxn];
  struct node{
    int v,d;
    node(int _v,int _d){
      v=_v;d=_d;
    }
    bool operator <(const node &B)const{
      return d>B.d;
    }
  };
  void dijkstra(int s){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    priority_queue<node> q;
    q.push(node(s,0));
    while(!q.empty()){
      node tmp=q.top();q.pop();
      if(vis[tmp.v])continue;
      vis[tmp.v]=true;dis[tmp.v]=tmp.d;
      for(int pt=first[tmp.v];pt;pt=lst[pt].next){
    if(lst[pt].to<s&&!vis[lst[pt].to])q.push(node(lst[pt].to,lst[pt].w+tmp.d));
      }
    }
    for(int i=0;i<=s;++i)d[i][s]=dis[i];
  }
  void init(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    int a,b,w;
    for(int i=1;i<=m;++i){
      scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);addedge(a,b,w);addedge(b,a,w);
    }
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    for(int i=1;i<=n;++i)dijkstra(i);
  }
  
};
int main(){
  Init::init();
  Mincost::build();
  printf("%d\n",Mincost::mincost());
  return 0;
}

 

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