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最小生成树——Prim算法
最小生成树是图这一数据结构里最常讨论的方面之一。
先用一下几个概念回忆一下什么是最小生成树：
连通图：任意两个结点之间都有一个路径相连
生成树（Spannirng Tree）：连通图的一个极小的连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边
最小生成树（Minimum Spannirng Tree）：连通图的最小代价的生成树（各边的权值之和最小）
最小生成树性质（MST性质）：
设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。
证明：http://fdcwqmst.blog.163.com/blog/static/164061455201010392833100/
构造最小生成树的两种方法：Prim算法和Kruskal算法。它们都利用了MST性质；都使用贪心策略，一次生成一条权值最小的“安全边”。
下面看一下Prim算法的具体内容。
算法思想：
1. 从图中选取一个节点作为起始节点（也是树的根节点），标记为已达；初始化所有未达节点到树的距离为到根节点的距离；
2. 从剩余未达节点中选取到树距离最短的节点i，标记为已达；更新未达节点到树的距离（如果节点到节点i的距离小于现距离，则更新）；
3. 重复步骤2直到所有n个节点均为已达。
上述过程应该是很清晰的，下面看一下Prim算法的C语言实现：
#define N 10 // 定义最大节点数，实际有几个是几个
#define MAXDIST 100 // 最大距离，表示两个节点间不可达, 为了输入方便设置成100，实际可用INT_MAX
// 为了计算方便传入的距离矩阵用指针数组的格式，n是节点数
int Prim(int (*map)[N], int n)
{
int i, j;
int minDist, minIndex, totalWeight;
int *visited, *parent, *dist; // 分别保存节点的已达标志，父节点，到树的距离
// 申请空间并清零
visited = (int *)malloc(n * sizeof(int));
parent = (int *)malloc(n * sizeof(int));
dist = (int *)malloc(n * sizeof(int));
memset(visited, 0, n * sizeof(int));
memset(parent, 0, n * sizeof(int));
memset(dist, 0, n * sizeof(int));
// 初始化，设置节点0为根节点
visited[0] = 1;
totalWeight = 0;
// 初始化未达节点到树的距离
for (i = 1; i < n; ++i)
{
parent[i] = 0;
dist[i] = map[0][i];
}
printf("\nEdge\tWeight\n");
// n - 1次循环找出n - 1条边
for (i = 0; i < n - 1; ++i)
{
minDist = MAXDIST;
minIndex = i;
// 找出到树距离最小的节点
for (j = 1; j < n; ++j)
{
if (visited[j] == 0 && dist[j] < MAXDIST)
{
minDist = dist[j];
minIndex = j;
}
}
if (minIndex == i) // 所有节点到树的距离都为MAXDIST，说明不是连通图，返回
{
printf("This is not a connected graph!\n");
return MAXDIST;
}
// 标记并输出找到的节点和边
visited[minIndex] = 1;
totalWeight += minDist;
printf("%d-->%d\t%3d\n", parent[minIndex], minIndex, map[parent[minIndex]][minIndex]);
// 更新剩余节点到树的距离
for (j = 1; j < n; ++j)
{
if (visited[j] == 0 && map[j][minIndex] < dist[j])
{
parent[j] = minIndex;
dist[j] = map[j][minIndex];
}
}
}
printf("\nTotal Weight: %d\n\n", totalWeight);
return totalWeight;
}再写一个测试函数验证一下功能：
int main()
{
int map[N][N];
int i, j;
int n, tmp;
printf("Num of nodes: ");
scanf("%d", &n);
printf("Distance matrix (lower triangular) : ");
for (i = 1; i < n; ++i)
{
map[i][i] = 0;
for (j = 0; j < i; ++j)
{
scanf("%d", &tmp);
map[i][j] = tmp;
map[j][i] = tmp;
}
}
Prim(map, n);
return 0;
}测试图的距离矩阵如下：因为无向图矩阵是对称的，所以程序中设置只要输入下三角数据即可，也就是下面这些：
下面是程序运行截图：
最小生成树——Prim算法
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