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欧拉函数值求解与应用

2024-09-03 10:17:23   218人阅读

欧拉函数简介：

欧拉函数只是工具：提供1到N中与N互质的数

 

定义和简单性质

欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.

欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).

欧拉函数的一些性质:

1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1

欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.

证明：

函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互质”可知m,n无公因数,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1‘)(1-1/p2‘)(1-1/p3‘)…(1-1/pn‘),其中p1,p2,p3...pn为m的质因数,p1‘,p2‘,p3‘...pn‘为n的质因数,而m,n无公因数,所以p1,p2,p3...pn,p1‘,p2‘,p3‘...pn‘互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1‘,p2‘,p3‘...pn‘均为mn的质因数且为mn质因数的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1‘)(1-1/p2‘)(1-1/p3‘)…(1-1/pn‘),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).

即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.

2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

3.除了N=2,φ(N)都是偶数.

4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).

 

根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉函数值.

如果我们要求1000000以内所有数的欧拉函数,怎么办.

上面的方法复杂度将高达O(N*sqrt(N)).

我们来看看线性筛法的程序:

 

 1 //直接求解欧拉函数  
 2 int euler(int n){ //返回euler(n)   
 3      int res=n,a=n;  
 4      for(int i=2;i*i<=a;i++){  
 5          if(a%i==0){  
 6              res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
 7              while(a%i==0) a/=i;  
 8          }  
 9      }  
10      if(a>1) res=res/a*(a-1);  
11      return res;  
12 }

它在O(N)的时间内遍历了所有的数,并且有很多的附加信息,

那么我们是不是能在筛素数的同时求出所有数的欧拉函数呢.

答案是可以.

φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值：
设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
觉得这个“筛”还是比较好用的，以前求数的所有因子之和也是用的它。
代码如下：

 
筛法求欧拉函数

1 void Init(){     
2      euler[1]=1;    
3      for(int i=2;i<Max;i++)    
4        euler[i]=i;    
5      for(int i=2;i<Max;i++)    
6         if(euler[i]==i)    
7            for(int j=i;j<Max;j+=i)    
8               euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 
9 }

另一种实现：

 1 void PHI()  //即可以求出素数，还可以求出欧拉函数的值！ 模板。
 2 {
 3     int cnt=0;
 4     for(int i=2;i<M;i++){
 5     if(vis[i]==0){
 6         prime[cnt++]=i;
 7         phi[i]=i-1;     //i如果是素数，那么前面i-1个都与它互质。
 8     }
 9      for(int j=0;j<cnt&&prime[j]*i<M;j++){
10        vis[i*prime[j]]=1;
11        if(i%prime[j]==0){
12             phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
13             break;
14        }
15        else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
16      }
17     }
18 }

 

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