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挑战程序设计竞赛 3.3 活用各种数据结构
【Summarize】
1. 线性维护只能处理部分问题的时候要想到数据拆分,容斥解决问题
2. 在不断有人被淘汰的序列问题中,查找左右第几个人是谁的时候可以考虑线段树优化
3. 当问题结果并不同时依赖与两个维度的操作的时候,二维问题可拆分为两个一维问题分别解决
POJ 1990:MooFest
/* 题目大意:给出每头奶牛的位置和至少要多少分贝的音量才能听到谈话 现在求奶牛两两交流成功需要的距离*分贝的总和。 题解:我们将奶牛对于需要的分贝排序,那么在计算的时候, 每头奶牛只要计算和序列前面所有奶牛的答案即可 那么只要维护前面所有奶牛和其距离之差的绝对值之和即可 将其拆分为坐标小于该奶牛的坐标之和,和大于该奶牛的部分 发现只要用线段树维护区间和和区间数的个数即可。*/#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring> using namespace std;const int N=20010;int T[N*4],C[N*4],n,t,c,M;struct data{int v,x;}p[N];long long ans;bool cmp(data a,data b){return a.v<b.v;}void add(int x,int y){ T[x+=M]+=y; C[x]++; for(x/=2;x;x/=2){ T[x]=T[x<<1]+T[(x<<1)^1]; C[x]=C[x<<1]+C[(x<<1)^1]; }}void query(int x,int y){ t=c=0; x+=M-1;y+=M+1; while(x^y^1>0){ if(~x&1)t+=T[x+1],c+=C[x+1]; if(y&1)t+=T[y-1],c+=C[y-1]; x>>=1;y>>=1; }}int main(){ for(M=1;M<N;M<<=1); while(~scanf("%d",&n)){ for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].v,&p[i].x); sort(p+1,p+n+1,cmp); memset(T,0,sizeof(T)); memset(C,0,sizeof(C)); for(int i=1;i<=n;i++){ query(1,p[i].x); ans+=1LL*p[i].v*(p[i].x*c-t); query(p[i].x,20000); ans+=1LL*p[i].v*(t-p[i].x*c); add(p[i].x,p[i].x); }printf("%lld\n",ans); }return 0;}
POJ 3109:Inner Vertices
/* 题目大意:在一个棋盘上放满白子,现在把一些白子变成黑子, 如果一个白子上下左右都有黑子,就会变成黑子,问最终黑子个数 题解:首先我们在每列的开头和结尾做标记,之后对行线扫描, 如果是列的开头,那么在该列中标记,如果是列的结尾,则在该列中去除标记 那么我们只要统计行的开头到行的结尾之间夹着多少列标记,且该列下该行没有原来的黑子 就是该行新增的黑子数量,对于总的黑子数量,可以用树状数组统计,之后容斥一下列标记即可。*/#include <cstdio>#include <algorithm>#include <utility>#define cx first#define cy secondusing namespace std;typedef long long LL; const int MAX_N=100010;typedef pair<int,int> P;int t,c[MAX_N],r[MAX_N],N,ys[MAX_N],d[MAX_N],vis[MAX_N];P p[MAX_N];bool cmp(int a,int b){return p[a].cy<p[b].cy||p[a].cy==p[b].cy&&p[a].cx<p[b].cx;}int sum(int x){int s=0;while(x)s+=c[x],x-=(x&-x);return s;}void add(int x,int v){while(x<=t)c[x]+=v,x+=x&-x;}int main(){ scanf("%d",&N); for(int i=0;i<N;i++)scanf("%d%d",&p[i].cx,&p[i].cy),r[i]=i; sort(p,p+N); sort(r,r+N,cmp); ys[r[0]]=1; d[r[0]]=1; for(int i=1;i<N;i++){ ys[r[i]]=ys[r[i-1]]; if(p[r[i]].cy==p[r[i-1]].cy)continue; d[r[i-1]]--; d[r[i]]++; ys[r[i]]++; }LL ans=N; d[r[N-1]]--; t=ys[r[N-1]]; for(int i=0,j=0;i<N;){ for(j=i;j<N&&p[j].cx==p[i].cx;j++) if(d[j]<0){vis[ys[j]]=0;add(ys[j],-1);} if(ys[i]<ys[j-1]-1){ ans+=sum(ys[j-1]-1)-sum(ys[i]); for(int k=i+1;k<j-1;k++)if(vis[ys[k]])ans--; }for(;i<j;i++)if(d[i]>0){add(ys[i],1);vis[ys[i]]=1;} }printf("%lld\n",ans); return 0;}
POJ 2155:Matrix
/* 题目大意:要求维护两个操作,矩阵翻转和单点查询 题解:树状数组可以处理前缀和问题,前缀之间进行容斥即可得到答案。*/#include <cstring>#include <cstdio>const int N=1010;using namespace std;int c[N][N],n,m,T;char op[2];void add(int x,int y){ int i,j,k; for(i=x;i<N;i+=i&-i) for(j=y;j<N;j+=j&-j) c[i][j]^=1;}int sum(int x,int y){ int i,j,ret=0; for(i=x;i;i-=i&-i) for(j=y;j;j-=j&-j) ret^=c[i][j]; return ret;}int main(){ scanf("%d",&T); for(int cas=0;cas<T;cas++){ if(cas)puts(""); memset(c,0,sizeof(c)); scanf("%d%d",&n,&m); while(m--){ int x,y,x1,y1; scanf("%s%d%d",op,&x,&y); if(op[0]==‘Q‘)printf("%d\n",sum(x,y)); else{ scanf("%d%d",&x1,&y1); add(x,y); add(x1+1,y); add(x,y1+1); add(x1+1,y1+1); } } }return 0;}
POJ 2886:Who Gets the Most Candies
/* 题目大意:一些人站成一个圈,每个人手上都有一个数字, 指定从一个人开始淘汰,每次一个人淘汰时,将手心里写着的数字x展示 如果x是正数,则淘汰右手边第x个人,否则淘汰左手边地-x个人。 每个人淘汰的时候将获得积分,积分的多少取决于他是第几个淘汰的, 积分为淘汰的顺序数拥有的因子数量 输出积分最高的人和其积分 题解:首先,我们计算出第几个淘汰的人分数最高,那么我们只要模拟到这个人淘汰即可 在处理中,寻找下一个人时我们可以用线段树求kth的方法求出这个人的位置,顺序处理即可。*/#include <cstdio>#include <cstring> using namespace std;const int N=500010;int n,k,T[N*4],m,id,ans[N];struct data{int val;char name[20];}p[N];void build(int x,int l,int r){ T[x]=r-l+1; if(l==r)return; int mid=(l+r)>>1; build(x<<1,l,mid); build(x<<1|1,mid+1,r);}int update(int key,int x,int l,int r){ T[x]--; if(l==r)return l; int mid=(l+r)>>1; if(T[x<<1]>=key)return update(key,x<<1,l,mid); return update(key-T[x<<1],x<<1|1,mid+1,r);}void GetID(){ memset(ans,0,sizeof(ans)); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=i;j<=n;j+=i)ans[j]++; }int mx=ans[id=1]; for(int i=2;i<=n;i++)if(ans[i]>mx){mx=ans[i];id=i;}}int main(){ while(~scanf("%d%d",&n,&k)){ build(1,1,n); GetID(); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s%d",p[i].name,&p[i].val); int mod=T[1],pos=0; p[0].val=0; m=id; while(m--){ if(p[pos].val>0)k=((k-1+p[pos].val-1)%mod+mod)%mod+1; else k=((k-1+p[pos].val)%mod+mod)%mod+1; pos=update(k,1,1,n); mod=T[1]; }printf("%s %d\n",p[pos].name,ans[id]); }}
POJ 3264:Balanced Lineup
/* 题目大意:求区间最大值和最小值的差值 题解:线段树维护区间极值即可。*/#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring> #include <climits>using namespace std;const int N=1000010;int T[N*4],C[N*4],n,M,m;struct data{int v,x;}p[N];long long ans;bool cmp(data a,data b){return a.v<b.v;}void add(int x,int y){ T[x+=M]=y; C[x]=y; for(x/=2;x;x/=2){ T[x]=max(T[x<<1],T[(x<<1)^1]); C[x]=min(C[x<<1],C[(x<<1)^1]); }}int query(int x,int y){ int t=INT_MIN,c=INT_MAX; x+=M-1;y+=M+1; while(x^y^1>0){ if(~x&1)t=max(T[x+1],t),c=min(C[x+1],c); if(y&1)t=max(T[y-1],t),c=min(C[y-1],c); x>>=1;y>>=1; }return t-c;}int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(M=1;M<n;M<<=1); for(int i=0;i<=M+n;i++)C[i]=INT_MAX,T[i]=INT_MIN; for(int i=1;i<=n;i++){ int x; scanf("%d",&x); add(i,x); } while(m--){ int l,r; scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d\n",query(l,r)); }return 0;}
POJ 3368:Frequent values
/* 题目大意:有一个有序序列,要求区间查询出现次数最多的数 题解:维护每个区间左端点和右端点,以及左右的长度,还有区间的答案 每次线段合并的时候,对区间数据进行合并即可。*/#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;const int N=100010;struct data{int a,b,l,r,val;}T[N*4];int num[N],n,q,l,r;data combine(data &l,data &r){ data ans; ans.a=l.a; ans.b=r.b; ans.l=l.a==r.a?l.l+r.l:l.l; ans.r=r.b==l.b?l.r+r.r:r.r; ans.val=max(l.val,r.val); if(l.b==r.a)ans.val=max(ans.val,l.r+r.l); return ans;}void build(int x,int l,int r){ if(l==r){T[x]=(data){num[l],num[r],1,1,1};return;} int mid=(l+r)>>1; build(x<<1,l,mid);build(x<<1|1,mid+1,r); T[x]=combine(T[x<<1],T[x<<1|1]);}data query(int L,int R,int x,int l,int r){ if(r<L||R<l){data u;return u;} if(L<=l&&r<=R)return T[x]; int mid=(l+r)>>1; data vl=query(L,R,x<<1,l,mid),vr=query(L,R,x<<1|1,mid+1,r); if(mid<L)return vr; if(mid>=R)return vl; return combine(vl,vr);}int main(){ while(scanf("%d",&n)&&n){ scanf("%d",&q); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]); build(1,1,n); while(q--){ scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d\n",query(l,r,1,1,n).val); } }return 0;}
POJ 3470:Walls
/* 题目大意:给出几面墙,均垂直于x轴或者y轴,给出一些鸟的位置(二维坐标点), 鸟只会垂直x轴或者y轴飞行,并且会撞上最近的墙,问每面墙最后会有几只鸟撞上去。 题解:我们将所有的二维坐标离散,对xy方向分别进行扫描线, 以y轴方向为例,我们先从y最小的线开始扫, 如果是墙,那么在线段树中更新其在x轴上的分布位置 如果是鸟的坐标,那么在线段树中查找其位置,更新其答案。 之后从y最大的开始反向扫描,更新,x方向也同理。*/#include <cstdio>#include <algorithm> #include <cstring>#include <climits>using namespace std;const int N=50010;int n,m,wall,tot,dis[N],v[N],w[N],T[10*N],*arr;int x[3*N],y[3*N],ry[3*N],rx[3*N],r[3*N],xs[3*N],ys[3*N],px[3*N],py[3*N];bool cmp(int a,int b){return arr[a]<arr[b];}void compress(int *x,int *r,int n,int *a,int *mp){ for(int i=0;i<n;i++)r[i]=i; arr=x; sort(r,r+n,cmp); int m=-1; a[r[0]]=++m; mp[m]=x[r[0]]; for(int i=1;i<n;i++){ int cur=r[i],lst=r[i-1]; if(x[cur]==x[lst])a[cur]=m; else a[cur]=++m,mp[m]=x[cur]; }}int query(int q,int x,int l,int r){ if(T[x]!=-2)return T[x]; int mid=(l+r)>>1; if(q<mid)return query(q,x<<1|1,l,mid); return query(q,x+1<<1,mid,r);}void update(int a,int b,int x,int l,int r,int val){ if(r<=a||b<=l)return; else if(a<=l&&r<=b)T[x]=val; else{ if(T[x]!=-2){ T[x+1<<1]=T[x<<1|1]=T[x]; T[x]=-2; }int mid=(l+r)>>1; update(a,b,x<<1|1,l,mid,val); update(a,b,x+1<<1,mid,r,val); }}void scan(int k,int *ys,int *xs,int *py,int W){ if(k<wall){ int _k=k^1; if(xs[_k]>=xs[k])update(xs[k],xs[_k]+1,0,0,W,k/2); }else{ int t=query(xs[k],0,0,W); if(~t){ int d=min(abs(py[ys[k]]-py[ys[t*2]]),abs(py[ys[k]]-py[ys[t*2+1]])); k-=wall; if(d<dis[k])dis[k]=d,v[k]=t; } }}void fly(int *ry,int *ys,int *xs,int *py,int W){ T[0]=-1; for(int i=0;i<tot;i++)scan(ry[i],ys,xs,py,W); T[0]=-1; for(int i=tot-1;i>=0;i--)scan(ry[i],ys,xs,py,W); }int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); wall=2*n; tot=wall+m; for(int i=0;i<tot;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i); compress(x,rx,tot,xs,px); compress(y,ry,tot,ys,py); fill(dis,dis+m,INT_MAX);memset(w,0,n); fly(ry,ys,xs,py,xs[rx[tot-1]]+1); fly(rx,xs,ys,px,ys[ry[tot-1]]+1); for(int i=0;i<m;i++)++w[v[i]]; for(int i=0;i<n;i++)printf("%d\n",w[i]); return 0;}
POJ 1201:Intervals
/* 题目大意:告诉你一个区间至少要选定的数字的个数,给出n个区间的需求 问最少选取几个数字可以满足所有的需求 题解:对于区间[a,b]建立不等式Sb+1-Sa>=c,最后要求最小化Smax, 结合基础条件Si+1-Si>=0,Si-Si+1>=-1,构造差分约束系统求最长路就是答案。*/#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;const int N=200010,inf=~0U>>2,M=200000;int time[N],q[N],size,h,t,n,ed,dis[N],in[N],nxt[N],w[N],v[N],g[N],ma,mi,u,e,cost;void add(int x,int y,int z){v[++ed]=y;w[ed]=z;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;}int spfa(int S){ for(int i=0;i<=n;i++)dis[i]=-inf,in[i]=0,time[i]=0; time[S]=1,dis[S]=0,in[S]=1; int i,x,size; q[h=t=size=1]=S; while(size){ for(i=g[x=q[h]],h=(h+1)%M,size--;i!=-1;i=nxt[i])if(dis[x]+w[i]>dis[v[i]]){ dis[v[i]]=dis[x]+w[i]; if(!in[v[i]]){ time[v[i]]++,t=(t+1)%M,size++,in[q[t]=v[i]]=1; if(time[v[i]]>n)return -1; } }in[x]=0; }if(dis[n]==-inf)return -2; return dis[n];}int main(){ while(~scanf("%d",&n)){ ed=0;memset(g,-1,sizeof(g)); ma=-inf; mi=inf; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d%d%d",&u,&e,&cost); add(u,e+1,cost); ma=max(e+1,ma); mi=min(u,mi); }for(int i=mi;i<ma;i++)add(i,i+1,0),add(i+1,i,-1); n=ma; printf("%d\n",spfa(mi)); }return 0;}
UVA11990:”Dynamic“ Inversion
/* 题目大意:给出一个数列,每次删去一个数,求一个数删去之前整个数列的逆序对数。 题解:一开始可以用树状数组统计出现的逆序对数量 对于每个删去的数,我们可以用线段树求出它在原序列中的逆序对贡献 在线段树的每个区间有序化数据,就可以二分查找出这个数在每个区间的位置, 这样就处理出了划分出的区间的贡献,先用答案减去这一部分 接下来考虑已经删去部分的容斥,我们发现只要对删去部分再做一次类似的操作, 将这一部分跟当前删去数求一次贡献就是刚才多减去的部分,将这部分的答案再加回去。 这个可以在线段树上查找的同时用树状数组维护。 这样子就能处理每一次的删数操作了。*/#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;const int N=200010;int n,m,c[30][N],a[30][N],arr[N],id[N];long long ans;void add(int c[],int x,int v,int n){while(x<=n)c[x]+=v,x+=x&-x;}int sum(int c[],int x,int n=0){int s=0;while(x>n)s+=c[x],x-=x&-x;return s;}void build(int x,int l,int r,int d){ int mid=(l+r)>>1; for(int i=l;i<=r;i++)a[d][i]=a[d-1][i],c[d][i]=0; if(l==r)return; build(x<<1,l,mid,d+1); build(x<<1|1,mid+1,r,d+1); sort(a[d]+l,a[d]+r+1);}int find(int L,int R,int d,int v){ int l=L,r=R; while(l<r){ int mid=(l+r)>>1; if(a[d][mid]>=v)r=mid; else l=mid+1; }if(a[d][l]>v)l--; return l;}void query(int x,int l,int r,int L,int R,int v,int d,int f){ int mid=(l+r)>>1; if(L<=l&&r<=R){ int k=find(l,r,d,v),t=sum(c[d],k,l-1); if(!f){k=r-k;t=sum(c[d],r,l-1)-t;} else k-=l-1; ans-=k-t; return; }if(l>=r)return; if(L<=mid)query(x<<1,l,mid,L,R,v,d+1,f); if(R>mid)query(x<<1|1,mid+1,r,L,R,v,d+1,f);}void update(int x,int l,int r,int s,int v,int d){ int mid=(l+r)>>1; if(l==r){add(c[d],l,1,r);return;} if(l>=r)return; if(s<=mid)update(x<<1,l,mid,s,v,d+1); else update(x<<1|1,mid+1,r,s,v,d+1); int k=find(l,r,d,v); add(c[d],k,1,r);}int main(){ while(~scanf("%d%d",&n,&m)){ ans=0; memset(arr,0,sizeof(arr)); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[0][i]); id[a[0][i]]=i; ans+=i-1-sum(arr,a[0][i]); add(arr,a[0][i],1,n); }build(1,1,n,1); while(m--){ int k; scanf("%d",&k); printf("%lld\n",ans); if(ans){ query(1,1,n,1,id[k]-1,k,1,0); query(1,1,n,id[k]+1,n,k,1,1); update(1,1,n,id[k],k,1); } } }return 0;}
挑战程序设计竞赛 3.3 活用各种数据结构
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