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浅谈差分约束系统——图论不等式的变形

2024-09-02 13:57:37   221人阅读

浅谈差分约束系统——图论不等式的变形

                                                                 ----yangyaojia

 

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一．定义

如若一个系统由n个变量和m个不等式组成，并且这m个不等式对应的系数矩阵中每一行有且仅有一个1和-1，其它的都为0，这样的系统称为差分约束( difference constraints )系统。

二．分析

简单来说就是给你n个变量，给m个形如x[i]-x[j]≥k①或x[i]-x[j]≤k②。求两个变量差的最大与最小值。我们可以对不等式稍稍变形，将①变为k+aj≤ai,②变为ai+(-k)≤aj。不难发现，这和我们的最短路问题中的不等式dis[i]+w[i,j]≤dis[j]极为相似。

最大值

那么，如果题目要求我们求出某两点之间的最大距离，我们可以这样：

  1. 对于x[i] - x[j]≤a[k]，我们可以建一条由j到i的有向边，权值为k
  2. 对于x[i] - x[j]≥a[k]，我们可以建一条由i到j的有向边，权值为-k

并进行如下判断。

  1. 如果存在最短路径可以到达这两点，答案就是最短路的长度。
  2. 如果不存在路径可以到达，那么两点间的距离可以是无限大。
  3. 如果图中存在负环，那么就无解。

最小值

如果题目要求求出两点间的最小距离，我们就建立形如x[i]-x[j]≥k,建立i到j，权值为k的路，求的最长路径。判断也跟上面一样，不过是判有没有正环。

 

下面来附上一道典型例题 POJ3169

#include<queue>#include <algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#define Pair pair<int,int>#define MAXN 1000+1#define MAX 99999999#define MAXM 40000+1using namespace std;int n,m1,m2,num,nnum,head[MAXN],s,o,pre[MAXN],v[MAXN],K;int dis[MAXN],t[MAXN],ans=MAX;struct Edge{    int next,to,exi,from;    int dis,cost;}edge[MAXM];int read(){    int in=0;char c;    c=getchar();    for(;c>‘9‘||c<‘0‘;c=getchar());    for(;c<=‘9‘&&c>=‘0‘;c=getchar()) in=in*10+c-‘0‘;    return in;}void add(int from,int to,int dis){    edge[++num].next=head[from];    edge[num].to=to;    edge[num].dis=dis;    edge[num].from=from;    head[from]=num;}int spfa(){    for(int i=1;i<=n;i++)     dis[i]=99999999;    queue<int> q;    dis[s]=0;t[s]++;    q.push(s);    while(q.size()>0)    {        int k=q.front();q.pop();        v[k]=0;        for(int i=head[k];i;i=edge[i].next)        {            if(dis[edge[i].to]>dis[k]+edge[i].dis)            {                dis[edge[i].to]=dis[k]+edge[i].dis;                t[edge[i].to]++;                if(t[edge[i].to]>n) return 1;                if(!v[edge[i].to]) v[edge[i].to]=1,q.push(edge[i].to);                            }        }    }    return 0;} int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m1,&m2);    int a,b,c;    for(int i=1;i<=m1;i++)    {        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        add(a,b,c);     }    for(int i=1;i<=m2;i++)    {        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        add(b,a,-c);    }s=1;    if(spfa())     {        printf("-1\n");        return 0;    }    if(dis[n]==99999999) printf("-2\n");    else printf("%d\n",dis[n]);    return 0;}

题目大意就是个一些约束条件求最大值，只要按着方法去建模，判断，就可以出解。

三．其他

         差分约束还分线性约束，区间约束与未知条件的约束。但本质上就是一样的，都是建立最短路模型来求解。关于未知条件的约束的题目，也是枚举k的大小求解。在这里也不再多说，毕竟是浅谈差分约束。

 

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