定义

其中

，被称为调和平均数

，被称为几何平均数

，被称为算术平均数

，被称为平方平均数

且

证明

引理1 若，则，当且仅当时取等。

证明： 当时，有，因为，且时取等，所以此时成立。

假设当时成立，则当时有

因为

所以，取等时当且仅当(归纳假设)，的值为0，所以取等时当且仅当

所以，定理得证。

定理2 一组数据（所有数非负）的几何平均数小于等于它的算术平均数，即，取等时当且仅当所有数相等。

证明：当时，要证，就要证，因为，所以此时成立。

假设当时成立，则当时，设是最大的一个，所以，另外设，则

根据引理1有

(归纳假设)

取等时当且仅当且成立，即当时。

因为有，所以。

所以定理得证。

例子 当，可以得到，同时将定理2稍微变一下形也不难得到₍₁₎。

定理3 一组数据（所有数非负）的调和平均数小于等于它的几何平均数，即，取等时当且仅当所有数相等。

证明：设。因为,所以证原命题等价于证。

所以有

 根据式(1)有，当取等。

所以，当取等。

所以定理得证。

定理4 一组数据（所有数非负）的算术平均数小于等于它的平方平均数，即，取等时当且仅当所有数相等。

证明：当时，原命题等价于，因为，所以此时成立。

假设当时成立，则有。

当时，分母部分

根据归纳假设有，

原式可得取等条件为。

所以定理得证。

应用

均值不等式解决的函数最值问题主要的条件是函数各部分乘积一定或和一定等等，且各部分非负，然后利用相应的均值不等式得到取值范围。

1.若,则有最小值_________.

　　不难得到。由均值不等式可得。

2.若，则有最大值_________.

    不难得到，由均值不等式可得。也可以看到，当矩形周长一定时，矩形为正方形时面积最大。虽然用配方法也可以做这道题，但是略显麻烦。

3.有最大值____________.

      设，则，便可以使用均值不等式，可得。所以，不等号两边同乘一个-1可得。

4.一个直角三角形的斜边长为5cm，则它的面积的最大值为___________cm².

      设两直角边长分别为。由均值不等式可得。所以有。所以它的面积的最大值为cm²。

5.已知，求证

      易证这三个加数都非负。所以先让均值不等式打一发，得到不等号左边的代数式。

显然我们应该求得这个式子的最大值，所以我们求得的的值因尽量小。因为，所以有，所以

所以。

写在后面的乱七八糟的话

　　一直欢迎指出问题，因为除了定理2是跟百度百科学习了一下，引理1和定理3,4都是自己证出来的，所以可能存在一些问题。最开始这些结论都是写在word上面的，复制的时候公式复制不了，然后一个个手动copy，paste，可能手抽粘错位了或者手抖复制错了，凡是读到什么鬼畜的地方多半是我手抽了。应用中题目1,2,4是自己出的，3,5是在百度上找到的，5题没有找到标准"答案"，所以不能确保证明过程完全没有问题。

　　有问题一定要指出来哦。

浅谈均值不等式