设$x+y+z=0$,求证:$6(x^3+y^3+z^3)^2\leq (x^2+y^2+z^2)^3$.

证明: 原不等式等价于$27x^2y^2(x+y)^2\leq 4(x^2+xy+y^2)^3$.

即$4(x^2+xy+y^2)^3-27x^2y^2(x+y)^2\geq 0$.

亦即$(x-y)^2(x+2y)^2(2x+y)^2\geq 0$.

而最后一个不等式显然成立,故原不等式成立.

一个经典竞赛不等式的别证