我们将讨论逻辑回归。 逻辑回归是一种将数据分类为离散结果的方法。 例如，我们可以使用逻辑回归将电子邮件分类为垃圾邮件或非垃圾邮件。 在本模块中，我们介绍分类的概念，逻辑回归的损失函数（cost functon），以及逻辑回归对多分类的应用。

我们还涉及正规化。 机器学习模型需要很好地推广到模型在实践中没有看到的新例子。 我们将介绍正则化，这有助于防止模型过度拟合训练数据。

Classification

分类问题其实和回归问题相似，不同的是分类问题需要预测的是一些离散值而不是连续值。

如垃圾邮件分类，信用卡欺诈，肿瘤诊断等等。离散值可以是任意可数多个。

如果使用回归分析处理分类问题，如上图，当输出大于0.5时规定输出为1，小于0.5时输出为0，那么预测结果根据数据分布的不同会有很大误差。如那条蓝色的拟合直线。

而且预测值h(x)可以大于1或者小于0，这样回归方法将不好处理。

综上，我们引入 逻辑回归 使0<=h(x)<=1.

Hypothesis Representation

我们新引入的函数g（z）称为"Sigmoid Function,"或 "Logistic Function"，图像如上图。

逻辑函数g(z)可以将可以将任意的输入值限制在[0,1]之间的输出值。

此时，hθ(x)的值表示输出结果为1时的概率。例如hθ(x) = 0.7表示输出为1的概率为0.7。同时表示，输出为0的概率为0.3

 两个概率有如下关系：

Decision Boundary

为了得到离散的分类值y = {0，1}，我们做如下处理：

当hθ(x)>=0.5时，输出1；当hθ(x)<0.5时，输出0.

当z>=0时，g(z)>=0.5;当z<0时，g(z)<0.5。

当输入变成theta*X时，有

所以，我们最终得到：

这是我们想要的结果。

关于决策边界‘decision boundary’是将数据很好划分的一条分界线。

有如上图的数据分布，现在假设theta=[-3,1,1]T,带入到hθ(x)中，

假设现在要预测‘y=1’，使带入的结果-3+x1+x2 >0(之前的条件，z>=0),解除直线x1+x2=3便是数据集的分类边界。

另外一个例子可以看看：

这里决策边界都是一条直线，而逻辑回归的决策边界其实可以是任何形状的，如下面：

Cost Function and Gradient Descent

我们不能在逻辑回归中使用和线性回归相同的cost function，因为其输出会是波动的，出现很多局部最小值，即它将不是‘凸函数’。

所以逻辑回归的损失函数定义如下：

我们得到上面的 J(θ) vs hθ(x)的图像，

hθ(x) = 0时，Cost=0；y=0 && hθ(x)->1时，cost->∞。

现在的损失函数就是‘凸函数’了，这样我们就可以使用梯度下降算法来求解参数了。损失函数表达如下：

因为y={0,1},可以将J（theta）做如下简化：

然后就可以最小化J(theta)，求得参数theta。

使用梯度下降：

 可以发现，这里的梯度下降迭代的式子和之前的线性回归在形式上是一样的，但是请注意，这里也就是在形式上相似而已，因为h(x)的表示都不同，上图中的1号框是线性回归的h(x),2号框是逻辑回归的h(x)表示的逻辑函数。

Advanced Optimization

这里讲的是关于Octive中使用高级优化的知识，这里仅仅附上两张ppt，详细的知识请去Coursera了解。

1 function [jVal, gradient] = costFunction(theta)
2   jVal = [...code to compute J(theta)...];
3   gradient = [...code to compute derivative of J(theta)...];
4 end

1 options = optimset(‘GradObj‘, ‘on‘, ‘MaxIter‘, 100);
2 initialTheta = zeros(2,1);
3    [optTheta, functionVal, exitFlag] = fminunc(@costFunction, initialTheta, options);

这部分联系在本周的编程联系上有涉及到。

Multiclass Classification: One-vs-all

现将逻辑回归应用到多元分类 y = {0,1...n}中。

上面所讲是一个三类型分类问题，基本思想是将n类的多元分类划分成n+1个二元分类问题，选择一个类为Positive，那么剩下的所有数据自动划分在对立的negative里。

在这里一共会有三个h(x)，分别对应3个不同类型的假设。

总结：

使用逻辑回归做多元分类，就是为每个类建立一个分类器h(x)，给出一个相应i类的y=i的概率。

如果要为新的输入值做预测，那么就选择n个分类器h(x)中有最大概率的那一个类作为预测值。

斯坦福机器学习视频笔记 Week3 Logistic Regression and Regularization