Description

农夫JOHN准备把他的 N（1 <= N <= 10,000）头牛排队以便于行动。因为脾气大的牛有可能会捣乱，JOHN想把牛按脾气的大小排序。每一头牛的脾气都是一个在1到100，000之间的整数并且没有两头牛的脾气值相同。在排序过程中，JOHN 可以交换任意两头牛的位置。因为脾气大的牛不好移动，JOHN需要X+Y秒来交换脾气值为X和Y的两头牛。 请帮JOHN计算把所有牛排好序的最短时间。

Input

第1行： 一个数， N。

第2~N+1行： 每行一个数，第i+1行是第i头牛的脾气值。

Output

第1行： 一个数，把所有牛排好序的最短时间。

题解：

置换群。

参考hzwer

1.找出初始状态和目标状态。明显，目标状态就是排序后的状态。
2.画出置换群，在里面找循环。例如，数字是8 4 5 3 2 7
明显，目标状态是2 3 4 5 7 8，能写为两个循环：
(8 2 7)(4 3 5)。
3.观察其中一个循环，明显地，要使交换代价最小，应该用循环里面最小的数字2，去与另外的两个数字，7与8交换。这样交换的代价是：
sum - min + (len - 1) * min
化简后为：
sum + (len - 2) * min
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字。

4.考虑到另外一种情况，我们可以从别的循环里面调一个数字，进入这个循环之中，使交换代价更小。例如初始状态：
1 8 9 7 6
可分解为两个循环：
(1)(8 6 9 7)，明显，第二个循环为(8 6 9 7)，最小的数字为6。我们可以抽调整个数列最小的数字1进入这个循环。使第二个循环变为：(8 1 9 7)。让这个1完成任务后，再和6交换，让6重新回到循环之后。这样做的代价明显是：
sum + min + (len + 1) * smallest
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字，smallest是整个数列最小的数字。

5.因此，对一个循环的排序，其代价是sum - min + (len - 1) * min和sum + min + (len + 1) * smallest之中小的那个数字。

6.我们在计算循环的时候，不需要记录这个循环的所有元素，只需要记录这个循环的最小的数及其和。

7.在储存数目的时候，我们可以使用一个hash结构，将元素及其位置对应起来，以达到知道元素，可以快速反查元素位置的目的。这样就不必要一个个去搜索。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>//by zrt//problem:using namespace std;typedef long long LL;const int inf(0x3f3f3f3f);const double eps(1e-9);int n;int to[100005];int a[10005];int b[10005];int mn;bool vis[10005];int solve(int x){    int sum=a[x];    vis[x]=1;    int k=x;    int minn=a[x];    int l=1;    for(k=to[b[k]];k!=x;k=to[b[k]]) minn=min(minn,a[k]),sum+=a[k],l++,vis[k]=1;    return min(sum+(l-2)*minn,sum+minn+(l+1)*mn);}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    #endif    scanf("%d",&n);    mn=inf;    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d",&a[i]);        to[a[i]]=i;        b[i]=a[i];        mn=min(a[i],mn);    }    sort(b+1,b+n+1);    int ans=0;    for(int i=1;i<=n;i++){        if(!vis[i]){            ans+=solve(i);        }    }    printf("%d\n",ans);    return 0;}

BZOJ 1697: [Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序