第一部分：跳跃表

本文将总结一种数据结构：跳跃表。前半部分跳跃表性质和操作的介绍直接摘自《让算法的效率跳起来--浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》上海市华东师范大学第二附属中学 魏冉。之后将附上跳跃表的源代码，以及本人对其的了解。难免有错误之处，希望指正，共同进步。谢谢。

    跳跃表（Skip List）是1987年才诞生的一种崭新的数据结构，它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。而且最重要的一点，就是它的编程复杂度较同类的AVL树，红黑树等要低得多，这使得其无论是在理解还是在推广性上，都有着十分明显的优势。

    首先，我们来看一下跳跃表的结构

   跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件：

• 每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞(其实不需要)
• S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。
• 每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。

   操作

   一、查找
   目的：在跳跃表中查找一个元素x
   在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：
      1. 从最上层的链（Sh）的开头开始
      2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较
          (1) x=y  输出查询成功及相关信息
          (2) x>y  从p向右移动到q的位置
          (3) x<y  从p向下移动一格

      3. 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败

    二、插入
     目的：向跳跃表中插入一个元素x
     首先明确，向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。
     关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。
     而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。

     我们定义一个随机决策模块，它的大致内容如下：

•  产生一个0到1的随机数r     r ← random()
• 如果r小于一个常数p，则执行方案A，  if  r<p then do A
• 否则，执行方案B         else do B

     初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。

     我们来看一个例子：
     假设当前我们要插入元素“40”，且在执行了随机决策模块后得到高度为4
     步骤一：找到表中比40小的最大的数，确定插入位置

     步骤二：插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构

    三、删除

    目的：从跳跃表中删除一个元素x
    删除操作分为以下三个步骤：

• 在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出
• 将该元素所在整列从表中删除
• 将多余的“空链”删除 

    我们来看一下跳跃表的相关复杂度：
 
       空间复杂度： O(n)       （期望）
       跳跃表高度： O(logn)  （期望）

    相关操作的时间复杂度：
      查找：  O(logn)    （期望）
      插入：  O(logn)    （期望）
      删除：  O(logn)   （期望）
  
    之所以在每一项后面都加一个“期望”，是因为跳跃表的复杂度分析是基于概率论的。有可能会产生最坏情况，不过这种概率极其微小。

    以下是自己学习时碰到的一些问题

    首先分配一个链表，用list.hdr指向，长度为跳跃表规定的最高层，说是链表，在以下代码中只是分配了一段连续的空间，用来指向每一层的开始位置。我们看到结构体nodeType中，有一个key,一个rec(用户数据)，还有一个指向结构体的指针数组。

    一开始的那些图容易给人误解。如上图所示，例如每个节点的forward[2]，就认为是跳跃表的第3层。List.hdr的forward[2]指向11，11的forward[2]指向30，30的forward[2]指向53。这就是跳跃表的第3层：11---30-----53。（准确的说每个forward都指向新节点，新节点的同层forward又指向另一个节点，从而构成一个链表，而数据只有一个，并不是像开始途中所画的那样有N个副本）。

第二部分：字典树（单词查找树，Trie树）

第三部分：后缀树

后缀树（Suffix Tree），包含了一个或者多个字符串的所有后缀，空字符串也算是其中一个后缀。字符串 bananas,其所有后缀为bananas ananas nanas anas nas as s  $(表示空)，我们可以把后缀树看作是所有后缀组成的一棵字典树，关于字典树请参考上一篇文章。

下面的图片引用自http://www.cppblog.com/yuyang7/archive/2009/03/29/78252.html，感谢作者
在图中就不再表示空下了

下图就是把所有的后缀组成一棵下字典树

第四部分：KMP算法

    原文地址 http://www.matrix67.com/blog/archives/115

    我们这里说的KMP不是拿来放电影的（虽然我很喜欢这个软件），而是一种算法。KMP算法是拿来处理字符串匹配的。换句话说，给你两个字符串，你需要回答，B串是否是A串的子串（A串是否包含B串）。比如，字符串A="I‘m matrix67"，字符串B="matrix"，我们就说B是A的子串。你可以委婉地问你的MM：“假如你要向你喜欢的人表白的话，我的名字是你的告白语中的子串吗？”
    解决这类问题，通常我们的方法是枚举从A串的什么位置起开始与B匹配，然后验证是否匹配。假如A串长度为n，B串长度为m，那么这种方法的复杂度是O (mn)的。虽然很多时候复杂度达不到mn（验证时只看头一两个字母就发现不匹配了），但我们有许多“最坏情况”，比如，A= "aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab"，B="aaaaaaaab"。我们将介绍的是一种最坏情况下O(n)的算法（这里假设 m<=n），即传说中的KMP算法。
    之所以叫做KMP，是因为这个算法是由Knuth、Morris、Pratt三个提出来的，取了这三个人的名字的头一个字母。这时，或许你突然明白了AVL 树为什么叫AVL，或者Bellman-Ford为什么中间是一杠不是一个点。有时一个东西有七八个人研究过，那怎么命名呢？通常这个东西干脆就不用人名字命名了，免得发生争议，比如“3x+1问题”。扯远了。
    个人认为KMP是最没有必要讲的东西，因为这个东西网上能找到很多资料。但网上的讲法基本上都涉及到“移动(shift)”、“Next函数”等概念，这非常容易产生误解（至少一年半前我看这些资料学习KMP时就没搞清楚）。在这里，我换一种方法来解释KMP算法。

    假如，A="abababaababacb"，B="ababacb"，我们来看看KMP是怎么工作的。我们用两个指针i和j分别表示，A[i-j+ 1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说，i是不断增加的，随着i的增加j相应地变化，且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符（j当然越大越好），现在需要检验A[i+1]和B[j+1]的关系。当A[i+1]=B[j+1]时，i和j各加一；什么时候j=m了，我们就说B是A的子串（B串已经整完了），并且可以根据这时的i值算出匹配的位置。当A[i+1]<>B[j+1]，KMP的策略是调整j的位置（减小j值）使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配（从而使得i和j能继续增加）。我们看一看当 i=j=5时的情况。

    i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
    A = a b a b a b a a b a b …
    B = a b a b a c b
    j = 1 2 3 4 5 6 7

    此时，A[6]<>B[6]。这表明，此时j不能等于5了，我们要把j改成比它小的值j‘。j‘可能是多少呢？仔细想一下，我们发现，j‘必须要使得B[1..j]中的头j‘个字母和末j‘个字母完全相等（这样j变成了j‘后才能继续保持i和j的性质）。这个j‘当然要越大越好。在这里，B [1..5]="ababa"，头3个字母和末3个字母都是"aba"。而当新的j为3时，A[6]恰好和B[4]相等。于是，i变成了6，而j则变成了 4：

    i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
    A = a b a b a b a a b a b …
    B =     a b a b a c b
    j =     1 2 3 4 5 6 7

    从上面的这个例子，我们可以看到，新的j可以取多少与i无关，只与B串有关。我们完全可以预处理出这样一个数组P[j]，表示当匹配到B数组的第j个字母而第j+1个字母不能匹配了时，新的j最大是多少。P[j]应该是所有满足B[1..P[j]]=B[j-P[j]+1..j]的最大值。
    再后来，A[7]=B[5]，i和j又各增加1。这时，又出现了A[i+1]<>B[j+1]的情况：

    i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
    A = a b a b a b a a b a b …
    B =     a b a b a c b
    j =     1 2 3 4 5 6 7

    由于P[5]=3，因此新的j=3：

    i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
    A = a b a b a b a a b a b …
    B =         a b a b a c b
    j =         1 2 3 4 5 6 7

    这时，新的j=3仍然不能满足A[i+1]=B[j+1]，此时我们再次减小j值，将j再次更新为P[3]：

    i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
    A = a b a b a b a a b a b …
    B =             a b a b a c b
    j =             1 2 3 4 5 6 7

    现在，i还是7，j已经变成1了。而此时A[8]居然仍然不等于B[j+1]。这样，j必须减小到P[1]，即0：

    i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
    A = a b a b a b a a b a b …
    B =               a b a b a c b
    j =             0 1 2 3 4 5 6 7

    终于，A[8]=B[1]，i变为8，j为1。事实上，有可能j到了0仍然不能满足A[i+1]=B[j+1]（比如A[8]="d"时）。因此，准确的说法是，当j=0了时，我们增加i值但忽略j直到出现A[i]=B[1]为止。
    这个过程的代码很短（真的很短），我们在这里给出：

j:=0;
for i:=1 to n do
begin
   while (j>0) and (B[j+1]<>A[i]) do j:=P[j];
   if B[j+1]=A[i] then j:=j+1;
   if j=m then
   begin
      writeln(‘Pattern occurs with shift ‘,i-m);
      j:=P[j];
   end;
end;

    最后的j:=P[j]是为了让程序继续做下去，因为我们有可能找到多处匹配。
    这个程序或许比想像中的要简单，因为对于i值的不断增加，代码用的是for循环。因此，这个代码可以这样形象地理解：扫描字符串A，并更新可以匹配到B的什么位置。

    现在，我们还遗留了两个重要的问题：一，为什么这个程序是线性的；二，如何快速预处理P数组。
    为什么这个程序是O(n)的？其实，主要的争议在于，while循环使得执行次数出现了不确定因素。我们将用到时间复杂度的摊还分析中的主要策略，简单地说就是通过观察某一个变量或函数值的变化来对零散的、杂乱的、不规则的执行次数进行累计。KMP的时间复杂度分析可谓摊还分析的典型。我们从上述程序的j 值入手。每一次执行while循环都会使j减小（但不能减成负的），而另外的改变j值的地方只有第五行。每次执行了这一行，j都只能加1；因此，整个过程中j最多加了n个1。于是，j最多只有n次减小的机会（j值减小的次数当然不能超过n，因为j永远是非负整数）。这告诉我们，while循环总共最多执行了n次。按照摊还分析的说法，平摊到每次for循环中后，一次for循环的复杂度为O(1)。整个过程显然是O(n)的。这样的分析对于后面P数组预处理的过程同样有效，同样可以得到预处理过程的复杂度为O(m)。
    预处理不需要按照P的定义写成O(m^2)甚至O(m^3)的。我们可以通过P[1],P[2],...,P[j-1]的值来获得P[j]的值。对于刚才的B="ababacb"，假如我们已经求出了P[1],P[2],P[3]和P[4]，看看我们应该怎么求出P[5]和P[6]。P[4]=2，那么P [5]显然等于P[4]+1，因为由P[4]可以知道，B[1,2]已经和B[3,4]相等了，现在又有B[3]=B[5]，所以P[5]可以由P[4] 后面加一个字符得到。P[6]也等于P[5]+1吗？显然不是，因为B[ P[5]+1 ]<>B[6]。那么，我们要考虑“退一步”了。我们考虑P[6]是否有可能由P[5]的情况所包含的子串得到，即是否P[6]=P[ P[5] ]+1。这里想不通的话可以仔细看一下：

        1 2 3 4 5 6 7
    B = a b a b a c b
    P = 0 0 1 2 3 ?

    P[5]=3是因为B[1..3]和B[3..5]都是"aba"；而P[3]=1则告诉我们，B[1]、B[3]和B[5]都是"a"。既然P[6]不能由P[5]得到，或许可以由P[3]得到（如果B[2]恰好和B[6]相等的话，P[6]就等于P[3]+1了）。显然，P[6]也不能通过P[3]得到，因为B[2]<>B[6]。事实上，这样一直推到P[1]也不行，最后，我们得到，P[6]=0。
    怎么这个预处理过程跟前面的KMP主程序这么像呢？其实，KMP的预处理本身就是一个B串“自我匹配”的过程。它的代码和上面的代码神似：

P[1]:=0;
j:=0;
for i:=2 to m do
begin
   while (j>0) and (B[j+1]<>B[i]) do j:=P[j];
   if B[j+1]=B[i] then j:=j+1;
   P[i]:=j;
end;

    最后补充一点：由于KMP算法只预处理B串，因此这种算法很适合这样的问题：给定一个B串和一群不同的A串，问B是哪些A串的子串。

    串匹配是一个很有研究价值的问题。事实上，我们还有后缀树，自动机等很多方法，这些算法都巧妙地运用了预处理，从而可以在线性的时间里解决字符串的匹配。我们以后来说。

第五部分：AC 自动机

首先简要介绍一下AC自动机：Aho-Corasick automation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出n个单词，再给出一段包含m个字符的文章，让你找出有多少个单词在文章里出现过。要搞懂AC自动机，先得有模式树（字典树）Trie和KMP模式匹配算法的基础知识。AC自动机算法分为3步：构造一棵Trie树，构造失败指针和模式匹配过程。
     如果你对KMP算法和了解的话，应该知道KMP算法中的next函数（shift函数或者fail函数）是干什么用的。KMP中我们用两个指针i和j分别表示，A[i-j+ 1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说，i是不断增加的，随着i的增加j相应地变化，且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符，当A[i+1]≠B[j+1]，KMP的策略是调整j的位置（减小j值）使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配，而next函数恰恰记录了这个j应该调整到的位置。同样AC自动机的失败指针具有同样的功能，也就是说当我们的模式串在Tire上进行匹配时，如果与当前节点的关键字不能继续匹配的时候，就应该去当前节点的失败指针所指向的节点继续进行匹配。
      看下面这个例子：给定5个单词：say she shr he her，然后给定一个字符串yasherhs。问一共有多少单词在这个字符串中出现过。我们先规定一下AC自动机所需要的一些数据结构，方便接下去的编程。

    有了这些数据结构之后，就可以开始编程了：
   首先，将这5个单词构造成一棵Tire，如图-1所示。

    在构造完这棵Tire之后，接下去的工作就是构造下失败指针。构造失败指针的过程概括起来就一句话：设这个节点上的字母为C，沿着他父亲的失败指针走，直到走到一个节点，他的儿子中也有字母为C的节点。然后把当前节点的失败指针指向那个字母也为C的儿子。如果一直走到了root都没找到，那就把失败指针指向root。具体操作起来只需要：先把root加入队列(root的失败指针指向自己或者NULL)，这以后我们每处理一个点，就把它的所有儿子加入队列，队列为空。

    从代码观察下构造失败指针的流程：对照图-2来看，首先root的fail指针指向NULL，然后root入队，进入循环。第1次循环的时候，我们需要处理2个节点：root->next[‘h’-‘a’](节点h) 和 root->next[‘s’-‘a’](节点s)。把这2个节点的失败指针指向root，并且先后进入队列，失败指针的指向对应图-2中的(1)，(2)两条虚线；第2次进入循环后，从队列中先弹出h，接下来p指向h节点的fail指针指向的节点，也就是root；进入第13行的循环后，p=p->fail也就是p=NULL，这时退出循环，并把节点e的fail指针指向root，对应图-2中的(3)，然后节点e进入队列；第3次循环时，弹出的第一个节点a的操作与上一步操作的节点e相同，把a的fail指针指向root，对应图-2中的(4)，并入队；第4次进入循环时，弹出节点h(图中左边那个)，这时操作略有不同。在程序运行到14行时，由于p->next[i]!=NULL(root有h这个儿子节点，图中右边那个)，这样便把左边那个h节点的失败指针指向右边那个root的儿子节点h，对应图-2中的(5)，然后h入队。以此类推：在循环结束后，所有的失败指针就是图-2中的这种形式。

    最后，我们便可以在AC自动机上查找模式串中出现过哪些单词了。匹配过程分两种情况：(1)当前字符匹配，表示从当前节点沿着树边有一条路径可以到达目标字符，此时只需沿该路径走向下一个节点继续匹配即可，目标字符串指针移向下个字符继续匹配；(2)当前字符不匹配，则去当前节点失败指针所指向的字符继续匹配，匹配过程随着指针指向root结束。重复这2个过程中的任意一个，直到模式串走到结尾为止。

   对照图-2，看一下模式匹配这个详细的流程，其中模式串为yasherhs。对于i=0,1。Trie中没有对应的路径，故不做任何操作；i=2,3,4时，指针p走到左下节点e。因为节点e的count信息为1，所以cnt+1，并且讲节点e的count值设置为-1，表示改单词已经出现过了，防止重复计数，最后temp指向e节点的失败指针所指向的节点继续查找，以此类推，最后temp指向root，退出while循环，这个过程中count增加了2。表示找到了2个单词she和he。当i=5时，程序进入第5行，p指向其失败指针的节点，也就是右边那个e节点，随后在第6行指向r节点，r节点的count值为1，从而count+1，循环直到temp指向root为止。最后i=6,7时，找不到任何匹配，匹配过程结束。

    到此为止AC自动机算法的详细过程已经全部介绍结束，看一道例题：

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2222

跳跃表，字典树（单词查找树，Trie树），后缀树，KMP算法，AC 自动机相关算法原理详细汇总