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转:点积&叉积

一、点积(又称“数量积”、“内积”)

 1、理论知识

在数学中,点积的定义为a·b=|a|·|b|cos<a,b> 【注:粗体小写字母表示向量,<a,b>表示向量a,b的夹角,取值范围为[0,π]】。从定义上,我们知道向量的点积得到的是一个数值。而不是向量(这点大家要注意了!要与叉积进行区别)。另外点积中的夹角<a,b>没有顺序可言,即<a,b>=<b,a>(或a·b=b·a所以我们可以通过点积得到两个向量之间的夹角。<a,b>= arccos(a·b / (|a|·|b|))。并且通过点积的正负值,我们可以判断两个向量的方向关系。如果为正,即>0,他们夹角为(0,π/2)。如果为负,夹角为(π/2,π)。

2、Unity3D中应用

在Unity中,点积表示为Vector3.Dot(Vector3,Vector3):float——参数为2个向量,返回值为浮点型。

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  1. using UnityEngine;  
  2. using System.Collections;  
  3.   
  4. public class Vector3_Dot : MonoBehaviour {  
  5.       
  6.     //向量a  
  7.     Vector3 a;  
  8.     //向量b  
  9.     Vector3 b;  
  10.       
  11.     void Start()  
  12.     {  
  13.         //向量的初始化  
  14.         a = new Vector3(3, 0, 0);//x轴方向,长度为3  
  15.         b = new Vector3(Mathf.Sqrt(2), Mathf.Sqrt(2), 0);//(根号2,根号2,0)  
  16.     }  
  17.   
  18.     void OnGUI()  
  19.     {  
  20.         //点积的返回值  
  21.         float c=Vector3.Dot(a,b);  
  22.         //向量a,b的夹角,得到的值为弧度,我们将其转换为角度,便于查看!  
  23.         float angle=Mathf.Acos( Vector3.Dot(a.normalized,b.normalized))*Mathf.Rad2Deg;  
  24.         GUILayout.Label("向量a,b的点积为:" + c);  
  25.         GUILayout.Label("向量a,b的夹角为:" + angle);  
  26.     }  
  27.       
  28. }  

a.normalized表示该方向的单位向量,即方向与向量a相同,长度为1的向量。Mathf.Acos()即数学中的arccos()函数。Mathf.Rad2Deg表示将弧度转化为角度。

结果如下图:

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二、叉积(又称“向量积”、“外积”)

1、理论知识

数学上的定义:c=axb【注:粗体小写字母表示向量】其中a,b,c均为向量。即两个向量的叉积得到的还是向量!

性质1:c⊥a,c⊥b,即向量c垂直与向量a,b所在的平面。

性质2:模长|c|=|a||b|sin<a,b>

性质3:满足右手法则。从这点我们有axb ≠ bxa,而axb = - bxa。所以我们可以使用叉积的正负值来判断向量a,b的相对位置,即向量b是处于向量a的顺时针方向还是逆时针方向。

2、Unity中应用

在Unity中,叉积表示为Vector3.Cross(Vector3,Vector3):Vector3——参数为2个向量,返回值也为向量。

[csharp] view plain copy
 
  1. using UnityEngine;  
  2. using System.Collections;  
  3.   
  4. public class Vector3_Cross : MonoBehaviour {  
  5.   
  6.     //向量a  
  7.     Vector3 a;  
  8.     //向量b  
  9.     Vector3 b;  
  10.   
  11.     void Start()  
  12.     {  
  13.         //向量的初始化  
  14.         a = new Vector3(3, 0, 0);//x轴方向,长度为3  
  15.         b = new Vector3(0, 4, 0);//y轴方向,长度为4  
  16.     }  
  17.   
  18.     void OnGUI()  
  19.     {  
  20.         //叉积的返回值  
  21.         Vector3 c = Vector3.Cross(a, b);  
  22.         Vector3 d = Vector3.Cross(b, a);  
  23.         //向量a,b的夹角,得到的值为弧度,我们将其转换为角度,便于查看!  
  24.         float angle = Mathf.Asin(Vector3.Distance(Vector3.zero, Vector3.Cross(a.normalized, b.normalized))) * Mathf.Rad2Deg;  
  25.         GUILayout.Label("向量axb为:" + c);  
  26.         GUILayout.Label("向量bxa为:" + d);  
  27.         GUILayout.Label("向量a,b的夹角为:" + angle);  
  28.     }  
  29. }  

Vector3.Distance()用于计算2个Vector3的距离,在这里我们可以得到叉积向量的模长。

 

结果如下图:

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