Minimum Cut

题目：

  给出一张图，要求你删除最小割权和图。

算法分析：

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一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；

最小割集当然就权和最小的割集。

可以用最小切割最大流定理：

1.min=MAXINT,确定一个源点

2.枚举汇点

3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min

4.转到2直到枚举完毕

5.min即为所求输出min

    不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)

    所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。

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    prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。

    求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：

1.min=MAXINT，固定一个顶点P

2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边

3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min

4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）

5.转到2，合并N-1次后结束

6.min即为所求，输出min

prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)

如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)

这个Stoer-Wagner算法可以参见这篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:

对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.

如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:

1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.

2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.

6. 若|V|!=1则继续1.

看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:

1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.

2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!

3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>

const int INF = 1 << 30;
const int MAXN = 500 + 10;
int vst[MAXN];
int wet[MAXN];
int combine[MAXN];
int map[MAXN][MAXN];

int S,T,minCut,N;

//最大生成树
void Search(){
    int i,j,Max,x,y;
    memset(vst,0,sizeof(vst));
    memset(wet,0,sizeof(wet));
    S = T = -1;
    for(i = 0;i < N;++i){
        Max = -INF;
        for(j = 0;j < N;++j){
            if(!combine[j] && !vst[j] && wet[j] > Max)
                Max = wet[x = j];
        }
        if(T == x) return;  //有环
        S = T; T = x;
        minCut = Max;
        vst[x] = 1;
        for(j = 0;j < N;++j){
            if(!combine[j] && !vst[j]){
                wet[j] += map[x][j];
            }
        }
    }
}

int Stoer_Wagner(){
    int i,j;
    memset(combine,0,sizeof(combine));
    int ans = INF;
    for(i = 0;i < N - 1;++i){
        Search();         
        if(minCut < ans) ans = minCut;    //最小割     
        if(0 == ans) return 0;
        combine[T] = 1;
        for(j = 0;j < N;++j){           //合并
            if(!combine[j]){
                map[S][j] += map[T][j];
                map[j][S] += map[j][T];
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int a,b,c,M;
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        memset(map,0,sizeof(map));
        while(M--){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            map[a][b] += c;
            map[b][a] += c;
        }

        printf("%d\n",Stoer_Wagner());
    }
    return 0;
}

poj Minimum（ CutStoer Wagner算法）