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最小割Stoer-Wagner算法

2024-07-25 08:31:46   219人阅读

最小割Stoer-Wagner算法

 

割：在一个图G（V，E）中V是点集，E是边集。在E中去掉一个边集C使得G（V，E-C）不连通，C就是图G（V，E）的一个割；

最小割：在G（V，E）的所有割中，边权总和最小的割就是最小割。

 

求G的任意s-t最小割Min-C（s，t）：

设s，t是途中的两个点且边（s，t）∈E（即s，t之间存在一条边）。如果G的最小割Cut把G分成M，N两个点集

①：如果s∈M，t∈N则Min-C（s，t）= Cut（不讨论）

②：如果s，t∈M（或者s，t∈N）则Min-C（s，t）<= Cut

 

我们来定义一个Contract(a,b)操作，即把a，b两个点合并，表示为删除节点b，把b的节点信息添加到a上,如下图是做了Contract（5,6）

最小割 <wbr>Stoer-Wagner <wbr>算法

最小割 <wbr>Stoer-Wagner <wbr>算法

对于所点v有w(v,5)+=w(v,6)

 

求s-t最小割的方法

定义w(A,x) = ∑w(v[i],x)，v[i]∈A

定义Ax为在x前加入A的所有点的集合（不包括x）

1.令集合A={a}，a为V中任意点

2.选取V-A中的w(A,x)最大的点x加入集合

3.若|A|=|V|，结束，否则更新w(A,x)，转到2

令倒数第二个加入A的点为s，最后一个加入A的点为t，则s-t最小割为w(At,t)

 

以Poj (pku) 2914 Minimum Cut

的第三个case为例，图为

最小割 <wbr>Stoer-Wagner <wbr>算法

G（V，E）

我们设法维护这样的一个w[]，初始化为0；

我们把V-A中的点中w[i]最大的点找出来加入A集合；

V-A直到为空

w[]的情况如下

w[i]

0

1

2

3

4

5

6

7

初始值

0

0

0

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

0

0

0

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

0

0

0

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

0

0

0

A=A∪{3}

 

 

 

---

1

0

0

1

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

1

1

2

A=A∪{7}

 

 

 

 

 

2

2

---

A=A∪{5}

 

 

 

 

 

---

3

 

A=A∪{6}

 

 

 

 

 

 

---

 

 

每次w[i]+=∑(i,a)的权值a∈A

记录最后加入A的节点为t=6，倒数第二个加入A的为s=5，则s-t的最小割就为w[s]，在图中体现出来的意思就是5-6的最小割为w[s]=3

然后我们做Contract(s,t)操作，得到下图

最小割 <wbr>Stoer-Wagner <wbr>算法

G(V’,E’)

重复上述操作

 

w[i]

0

1

2

3

4

5

7

初始值

0

0

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

0

0

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

0

0

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

0

0

A=A∪{3}

 

 

 

---

1

0

1

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

2

2

A=A∪{5}

 

 

 

 

 

---

4

A=A∪{7}

 

 

 

 

 

 

---

s=5，t=7    s-t最小割是4

Contract(s,t)得到

最小割 <wbr>Stoer-Wagner <wbr>算法

 

 

w[i]

0

1

2

3

4

5

初始值

0

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

0

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

0

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

0

A=A∪{3}

 

 

 

---

1

1

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

4

A=A∪{5}

 

 

 

 

 

---

s=4，t=5    s-t最小割是4

Contract(s,t)得到

最小割 <wbr>Stoer-Wagner <wbr>算法


 

 

w[i]

0

1

2

3

4

初始值

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

A=A∪{3}

 

 

 

---

2

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

s=3，t=4    s-t最小割是2，（此时已经得出答案，以下省略）

 

 AC代码

 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cmath> 5 #include <algorithm> 6 #include <climits> 7 #include <vector> 8 #include <queue> 9 #include <cstdlib>10 #include <string>11 #include <set>12 #include <stack>13 #define LL long long14 #define pii pair<int,int>15 #define INF 0x3f3f3f3f16 using namespace std;17 const int maxn = 510;18 int e[maxn][maxn],n,m;19 bool comb[maxn];20 int Find(int &s,int &t){21     bool vis[maxn];22     int w[maxn];23     memset(vis,false,sizeof(vis));24     memset(w,0,sizeof(w));25     int tmp = INF;26     for(int i = 0; i < n; ++i){27         int theMax = -INF;28         for(int j = 0; j < n; j++)29             if(!vis[j] && !comb[j] && w[j] > theMax)30                 theMax = w[tmp = j];31         if(t == tmp) break;32         s = t;33         vis[t = tmp] = true;34         for(int j = 0; j < n; j++)35             if(!vis[j] && !comb[j])36                 w[j] += e[t][j];37     }38     return w[t];39 }40 int solve(){41     int ans = INF,s,t;42     memset(comb,0,sizeof(comb));43     for(int i = 1; i < n; i++){44         s = t = -1;45         ans = min(ans,Find(s,t));46         for(int j = 0; j < n; j++){47             e[s][j] += e[t][j];48             e[j][s] += e[j][t];49         }50         comb[t] = true;51     }52     return ans;53 }54 int main() {55     int u,v,w;56     while(~scanf("%d %d",&n,&m)){57         memset(e,0,sizeof(e));58         while(m--){59             scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);60             e[u][v] += w;61             e[v][u] += w;62         }63         printf("%d\n",solve());64     }65     return 0;66 }

 

转载自http://blog.sina.com.cn/s/blog_700906660100v7vb.html

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