图像分割中用到最小割原理，引出了最大流最小割算法，主要参考来自UCLA CIVS的Hong Chen的PPT 《Introduction to Min-Cut/Max-Flow Algorithms》

一、 首先借用PPT的两张图分别讲述一下两者的应用

1. 最大流应用于网络传输

2. 最小割应用于桥问题

二、基本概念之 s-t 图

1. 源结点（source node）和汇结点（sink node）

2. 从结点i到结点j的有向边（Arc）<i, j>

3. 每条边<i, j>有非负的容量cap(i, j)

4. cap(i, j) = 0 表示没有边

三、s-t 图中的流概念

流是一个实数函数，为每条边<i, j>赋值 f(i, j)，流具有如下一些属性：

1. 容量限制： f(i, j) <= cap(i, j)

2. Mass balance constraint （质量守恒约束，暂时如此翻译），如下公式表示：

• 所有从源点出发的边的流量之和 - 所有到源点的边的流量 = 流量的值
• 所有从汇点出发的边的流量之和 - 所有到汇点的边的流量 = 负的流量值
• 所有非源点和非汇点出的边的流量之和 - 到这些点的边的流量之和 = 0

以下是流量的一个例子，源点出发的 2+3，到源点的为0，则流量为5,，类似推理其他点

引出最大流的概念，所有可能的流函数中拥有最大值的流

四、基本概念之s-t Cut

引入割（Cut）的概念，将拥有源点s和汇点t的结点集合V分成两个子集S和T，当且仅当s属于S且t属于T时，称这种分割为Cut。如下图中左图为割，右图则不是。

五、s-t割的容量

s-t的容量cap([S, T]) 指的是所有从S到T的边界的容量和，具体公式如下：

下面是个例子，注意此外只计算从S到T的，不计算T到S的

引出最小割（minimum cut）的概念，所有可能的s-t割中容量最小的s-t割。

六、基本概念之Flow Across s-t Cut（理解为交叉流s-t Cut）

所有从S中的结点到T中结点流之和 - 所有从T中的结点到S中的结点的流之和。

下图是个例子，此处计算从S到T和T到S。

七、s-t图的性质

1. 对于任意的s-t割和流，s-t割的容量是s-t割交叉流量的上界（即最大值），推理过程很简单。

2. 对于任意的s-t割，割的交叉流量的值等于s-t流的值，这个推理稍微麻烦一点儿，主要思想是把前一项的终点分为S和T，后一项的起点分为S和T，再把前一项加和合并。

三、对于任意的s-t割和流，s-t割的容量是流的值的上界，这是由性质一和性质二推理出来的。

最大流最小割算法