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[51nod1244]莫比乌斯函数之和

2024-09-10 14:03:12   217人阅读

题意：求区间[a,b]的莫比乌斯函数μ之和。  a,b<=10^11

题解：很容易把区间求和改为求前缀和并求差，即要求考虑化简

莫比乌斯函数存在一个性质，也就是$\sum_{d|n}^{ } \mu(d)= 1$，那么$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}^{ } \mu(d)= 1$ 

这个式子比较复杂，我们转而考虑对于每一个d，它被计算了多少次，也就是$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor n/i \rfloor} \mu(d)$ ,这个式子=$\sum_{i=1}^{n}M(\lfloor n/i \rfloor)$=1  所以说，$M(n)=1-\sum_{i=2}^{n}M(\lfloor n/i \rfloor)$

$\lfloor n/i \rfloor$/i只有$\sqrt(n)$种，在预处理出前$k=n^{2/3}$的M值时最小，然后记忆化搜索可以在$O(n^{2/3})$内解决。

我们发现在计算中$\lfloor n/i \rfloor$有很多会被重复计算，所以可以手写一个map来极大地提升效率。

第一次用latex写公式，还好有个很牛逼的网站

估计是模数选的好，随便写写RANK1啦。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 5000000
#define mod 2333333
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
    return x*f;
}

struct my_map{
    ll x;int ans,next;
}e[MAXN+5];
int f[MAXN+5],ans=0,num=0,s[MAXN],head[mod+5];
bool b[MAXN+5];

void ins(ll x,int sum)
{
    int j=x%mod;
    e[++num]=(my_map){x,sum,head[j]};
    head[j]=num;
}

int calc(ll n)
{
    if(n<=MAXN) return f[n];
    for(int i=head[n%mod];i;i=e[i].next)
        if(e[i].x==n)return e[i].ans;
    int sum=1,q=sqrt(n);
    for(int i=2;i<=q;i++)
        sum-=calc(n/i);
    q=n/(q+1);
    for(int i=1;i<=q;i++)
        sum-=(n/i-(n/(i+1)))*calc(i);
    ins(n,sum);
    return sum;
}

int main()
{
    f[1]=1;b[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!b[i]) s[++num]=i,f[i]=-1;
        for(int j=1;j<=num&&s[j]*i<=MAXN;j++)
        {
            int t=s[j]*i; b[t]=1;
            if(i%s[j]==0){f[t]=0;break;}
            f[t]=-f[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        f[i]+=f[i-1];
    num=0;
    ll x=read();ans-=calc(x-1);
    x=read();ans+=calc(x);
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

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