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BZOJ 2820 莫比乌斯反演
思路：
$\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^mgcd(i,j)==p(p是素数)$
$\Sigma_{p是素数}^{p<=n}\Sigma_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}\Sigma_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor}gcd(i,j)==1$
由$e=μ|1$可得$gcd(i,j)==1 等价于 \Sigma_{d|gcd(i,j)} μ(d)$
所以原式为
$\Sigma_{p是素数}^{p<=n}\Sigma_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}\Sigma_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor}\Sigma_{d|gcd(i,j)}μ(d)$
$\Sigma_{p是素数}^{p<=n}\Sigma_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}\Sigma_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor}\Sigma_{d|i且d|j}μ(d)$
$\Sigma_{p是素数}^{p<=n}\Sigma_{d=1}^{\frac{n}{p}}\lfloor{\frac{n}{pd}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{pd}}\rfloor μ(d)$
设$k=pd$
$\Sigma_{k=1}^{min(n,m)}\lfloor{\frac{n}{k}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{k}}\rfloor\Sigma_{p|k}μ(\frac{k}{p})$
设$g(x)=\Sigma_{p|k}μ(\frac{k}{p})$
可以预处理g(x)
怎么求g(x)呢
有两种方法
1.暴力枚举
枚举素数 p
用$μ(p)$更新$μ(i*p)(i*p<=max(n,m))$
这样素数有$n/logn$个
枚举i的均摊复杂度是$O(logn)$的
乘起来就是$O(n)$了
2.
线性筛
对于素数p g(p)=1（显然）
由于$μ(x)_{x的因子有平方项}=0$
所以$prime[j]|i$的时候$g(i*prime[j])$的结果就是$μ(i)$了
因为我们求的是$\Sigma_{p|k}μ(\frac{k}{p})$而且$μ(x)$是积性函数
那我们不妨设$i*prime[j]=k$
设$P$是包含$prime[j]$的所有素数 $p$是不包含$prime[j]$的所有素数
$\Sigma_{P|k}μ(\frac{k}{P})=\Sigma_{P|k}μ(\frac{i*prime[j]}{P})$
$=\Sigma(μ(\frac{i}{p})*μ(prime[j]))+μ\frac{(i*prime[j])}{prime[j]}$
$=μ(prime[j])*g[i]+μ(i)=-g[i]+μ(i)$
处理完了g(x)
原式就是这个样子的$\Sigma_{k=1}^{min(n,m)}\lfloor{\frac{n}{k}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{k}}\rfloor g(k)$
对于g(k)搞个前缀和
$\lfloor{\frac{n}{k}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{k}}\rfloor$这个东西可以分块
终于搞完了
喜闻乐见
吼吼
枚举素数的
//By SiriusRen#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn=10000005;#define int long longint cases,n,m,mu[maxn],p[maxn],sum[maxn],f[maxn],tot;long long ans;bool vis[maxn];signed main(){ mu[1]=1; for(int i=2;i<maxn;i++){ if(!vis[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<maxn;j++){ mu[i*p[j]]=-mu[i],vis[i*p[j]]=1; if(!(i%p[j])){mu[i*p[j]]=0;break;} } } for(int i=1;i<=tot;i++) for(int j=1;j*p[i]<maxn;j++)f[j*p[i]]+=mu[j]; for(int i=1;i<maxn;i++)f[i]+=f[i-1]; scanf("%d",&cases); while(cases--){ scanf("%d%d",&n,&m),ans=0; if(n>m)swap(n,m); for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){ j=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans+=(f[j]-f[i-1])*(n/i)*(m/i); } printf("%lld\n",ans); }}
这是线性筛的
//By SiriusRen#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int N=10000005;int T,prime[N],vis[N],mu[N],tot,n,m;ll f[N],ans;int main(){ mu[1]=1; for(int i=2;i<N;i++){ if(!vis[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1,f[i]=1; for(int j=1;i*prime[j]<N&&j<=tot;j++){ vis[i*prime[j]]=1,mu[i*prime[j]]=-mu[i],f[i*prime[j]]=-f[i]+mu[i]; if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;f[i*prime[j]]=mu[i];break;} }f[i]+=f[i-1]; } scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d%d",&n,&m),ans=0; for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){ r=min(n/(n/l),m/(m/l)); ans+=1ll*(f[r]-f[l-1])*(n/l)*(m/l); }printf("%lld\n",ans); }}
BZOJ 2820 莫比乌斯反演