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HDU 4746 (莫比乌斯反演) Mophues
这道题看巨巨的题解看了好久，好久。。
本文转自hdu4746(莫比乌斯反演)
题意：给出n, m, p，求有多少对a, b满足gcd(a, b)的素因子个数<=p，(其中1<=a<=n, 1<=b<=m)
分析：设A(d)：gcd(a, b)=d的有多少种
设B(j): gcd(a, b)是j的倍数的有多少种，易知B(j) = (n/j)*(m/j)
则由容斥原理得：（注：不同行的μ是不相同的，μ为莫比乌斯函数）
A(1) = μ(1)*B(1) + μ(2)*B(2) + μ(3)*B(3) + ... + μ(p1*p2...)*B(p1*p2...)
A(2) = μ(1)*B(1*2) + μ(2)*B(2*2) + μ(3)*B(3*2) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*2)
...
A(d) = μ(1)*B(1*d) + μ(2)*B(2*d) + μ(3)*B(3*d) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*d)
ans = A(1)+A(2)+...+A(d) = F(1)*B(1) + F(2)*B(2) + ... + F(p1*p2..)*B(p1*p2..)
于是可以枚举公约数i{表示A(i)}，利用筛法找出i的倍数j，i对B(j)的贡献系数为：F(j)+=μ(j/i)总之，求出B(j)的总贡献系数F(j)即可得答案：F(1)*B(1)+F(2)*B(2)+...+F(n)*B(n)
上面没有限制gcd的素因子个数，要限制其实不难，给系数加多一维即可：
F(d)(p)表示：素因子个数<=p时，对B(d)的贡献系数
分块加速思想
你可以再纸上模拟一下：设d在[i, n/(n/i)]的区间上，则该区间内所有的n/d都是一样的。
另外我想再补充一下：
- 根据上面A、B的含义，有
，然后根据莫比乌斯反演公式，反解出A(n)，得
- 代码中const int N = 19;以及特判if(p >= N)。为什么要定义N为19呢，因为如果一个正整数的素因子的个数大于等于19的话，那么这个数一定要比5×105要大，因为素因子个数为19的最小整数为219＞5×105
- 分块加速还想再啰嗦两句，因为
，在计算B(i)时可以不用枚举每个i计算B(i)。举个栗子，
。正如上面所说，d在区间[i, n/(n/i)]中，所有n/d的值都是一样的。这样就避免了重复计算B(i)，在计算答案的时候预处理F(i, p)的前缀和即可。
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 typedef long long LL; 4 5 const int M = 500000 + 10; 6 const int N = 19; 7 int F[M][N], num[M], h[M];//num记录素因子的个数，h如果含平凡因子则为-1，否则记录素因子的种类 8 9 int Mob(int n)10 {11 if(h[n] == -1) return 0;12 if(h[n] & 1) return -1;13 return 1;14 }15 16 void Init()17 {18 for(int i = 2; i < M; ++i)19 {20 if(num[i]) continue;21 for(int j = i; j < M; j += i)22 {23 int cnt = 0, temp = j;24 while(temp % i == 0)25 {26 cnt++;27 temp /= i;28 }29 num[j] += cnt;30 if(cnt > 1) h[j] = -1;31 else if(h[j] >= 0) ++h[j];32 }33 }34 35 for(int i = 1; i < M; ++i)36 for(int j = i; j < M; j += i)37 F[j][num[i]] += Mob(j / i);38 //求j的前缀和，使F表示素因子个数<=j的含义39 for(int i = 1; i < M; ++i)40 for(int j = 1; j < N; ++j)41 F[i][j] += F[i][j-1];42 //求i的前缀和，用于分块加速43 for(int i = 1; i < M; ++i)44 for(int j = 0; j < N; ++j)45 F[i][j] += F[i-1][j];46 }47 48 int main()49 {50 Init();51 52 int T;53 scanf("%d", &T);54 while(T--)55 {56 int n, m, p;57 scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);58 LL ans = 0;59 if(p >= N)60 {61 ans = (LL)n * m;62 }63 else64 {65 if(n > m) std::swap(n, m);66 for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)67 {68 j = std::min(n/(n/i), m/(m/i));69 ans += ((LL)F[j][p] - F[i-1][p]) * (n/i) * (m/i);70 }71 }72 73 printf("%I64d\n", ans);74 }75 76 return 0;77 }
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