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动态规划的详细解析(01背包问题)

                                    算法分析之动态规划详解

  先举个例子01背包问题具体例子:假设现有容量15kg的背包,另外有4个物品,分别为a1,a2,a3, a4。物品a1重量为3kg,价值为4;物品a2重量为4kg,价值为5;物品a3重量为5kg,价值为6, a4重6千克,价值为7。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大?

对于这样的问题,如果如上述所涉及的数据比较少的时候,我们通过列举就能算出来,例如,上边的例子的答案是:将a4和a3与a2放入背包中,这样总重量为6+5+4=15,总价值为5+6+7=18,这样总价值最大。但是如果上述给出的条件很多,此时我们光靠用眼睛看是绝对不行的,所以我们要用上动态规划的思想。

关于动态规划的思想是如何建立的,若初学者对动态规划还是很迷惑的,可以打开下面的文章链接。

 

点击打开链接  http://blog.csdn.net/u014028070/article/details/39695669 

 

 

 

    动态规划的基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解为若干个子问题(阶段),按顺序求解子阶段,前一子问题的解,为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时,列出各种可能的局部解,通过决策保留那些有可能达到最优的局部解,丢弃其他局部解。依次解决各子问题,最后一个子问题就是初始问题的解。

 

    由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点,为减少重复计算,对每一个子问题只解一次,将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

 

与分治法最大的差别是:适合于用动态规划法求解的问题,经分解后得到的子问题往往不是互相独立的(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解)。

 

我们以01背包为例子:

思路:先将原始问题一般化,欲求背包能够获得的总价值,即欲求前i个物体放入容量为m(kg)背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值。而前i个物体放入容量为m(kg)的背包,又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

表达式中各个符号的具体含义。

 

  w[i] : 第i个物体的重量;

 

  p[i] : 第i个物体的价值;

 

  c[i][m] :前i个物体放入容量为m的背包的最大价值;

 

  c[i-1][m] :前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值;

 

  c[i-1][m-w[i]] : 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值;

 

  由此可得:

 

      c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}(此时用到递归)

引用网上的一个图更能说明情况:

 

问题分析:令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值,则可以得到如下的动态规划函数:

 

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0

 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<wi 

 

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) }j>wi

 

(1)式表明:如果第i个物品的重量大于背包的容量,则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的,即物品i不能装入背包;第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量,则会有一下两种情况:(a)如果把第i个物品装入背包,则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包,则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然,取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

 

 

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)  //一个大小比较函数,用于当总重大于第I行时 
{
   if(a>=b)
       return a;
   else return b;
}

int Knap(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
    int i,j;
    for(i=0;i<=n;i++)
        V[i][0]=0;
    for(j=0;j<=C;j++)
        V[0][j]=0;
    for(i=0;i<=n-1;i++)
        for(j=0;j<=C;j++)
            if(j<w[i])
                V[i][j]=V[i-1][j];
            else
                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            j=C;
            for(i=n-1;i>=0;i--)
            {
                if(V[i][j]>V[i-1][j])
                {
                x[i]=1;
                j=j-w[i];
                }
            else
                x[i]=0;   
            }
            printf("选中的物品是:\n");
            for(i=0;i<n;i++)
                printf("%d ",x[i]);
            printf("\n");
        return V[n-1][C];
        
}

int main()
{
    int s;//获得的最大价值
    int w[4];//物品的重量   重量  价值  和物品的状态 均对应着存到数组中,物品从1开始。 
    int v[4];//物品的价值
    int x[4];//物品的选取状态   选中则是1  没选中为0 
    int n,i;
    int C;//背包最大容量
    n=4;
    printf("请输入背包的最大容量:\n");
    scanf("%d",&C);
    
    printf("物品数:\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("请分别输入物品的重量:\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);

    printf("请分别输入物品的价值:\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&v[i]);

    s=Knap(n,w,v,x,C);  //调用核心函数 

    printf("最大物品价值为:\n");
    printf("%d\n",s);
    system("pause");
    return 0;
   
    
}
结果是:


 暂时就理解这么多,还在不断学习中。

动态规划的详细解析(01背包问题)