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泊松方程

2024-07-26 16:26:54   217人阅读

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泊松方程（英语：Poisson‘s equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松方程为

\Delta\varphi=f

在这里\Delta代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为{\nabla}^2，因此泊松方程通常写成

{\nabla}^2 \varphi = f

在三维直角坐标系，可以写成

\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

如果有f(x,y,z)恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

\Delta \varphi = 0. \!

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。

静电学

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}

此 \Phi \! 代表电势（单位为伏特）， \rho \!是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而 \epsilon_0 \!是真空电容率（单位为法拉/米）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则

\rho = 0, \,

此方程就变成拉普拉斯方程：

{\nabla}^2 \Phi = 0.
高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 \rho(r)：
\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},
此处，Q代表总电荷
此泊松方程：{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0} 的解Φ(r)则为
\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)
erf(x)代表的是误差函数.
注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场 {1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}；正如我们所预期的。


来自为知笔记(Wiz)


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