MG loves string

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问题描述

MGMG是一个很忙碌的男孩子。今天他沉迷于这样一个问题：

对于一个长度为NN的由小写英文字母构成的随机字符串，当它进行一次变换，所有字符ii都会变成a[i]a[i]。

MGMG规定所有a[i]a[i]构成了2626个字母组成的排列。

MGMG现在需要知道这个随机串变换到自身的期望变换次数。请你输出期望答案乘上26^n26?n??以后模 10000000071000000007 的结果。

MGMG认为这件事非常容易，不屑于用计算机解决，于是运用他高超的人类智慧开始进行计算。作为一名旁观者，你也想挑战MGMG智慧，请你写个程序，计算答案。

输入描述

第一行一个整数TT，代表数据组数（1 <=T<=101<=T<=10）。

接下来，对于每组数据——

第一行一个整数NN，表示给定的随机串长度（1<=N<=10000000001<=N<=1000000000）。

第二行2626个字母，表示a_ia?i??序列

输出描述

对于每一组数据，输出一行。

显然，这个期望是一个实数。请你输出它乘上26^N26?N??以后模 10000000071000000007 的结果

输入样例

2
2
abcdefghijklmnpqrstuvwxyzo
1
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

输出样例

5956
26

【分析】

　　感觉BC的题挺好的啊【每次都能学到东西。。

　　首先，知道，这是个带LCM的期望。就是看随机串分别在长度为几的循环节里面，然后LCM。

　　然后，不同长度的循环节不会超过6个，1+2+3+4+5+6=21。

　　就是根据输入的那个串，只会有6种长度的循环节，所以你可以枚举真正的随机串涵盖的循环节有哪几个，枚举是2^6。

　　然后就是把n个字符放到那些循环节的字母集合中去，但是要保证每个循环节都一定有一个字母覆盖，问它的方案数。

　　其实这是经典的容斥原理，就是n个东西分到m个集合，让每个集合都至少有一个东西。

　　这里我们枚举子集就可以用容斥原理计算出来了【注意容斥，你要减掉的是没有涵盖某一个集合的，加上没有涵盖两个集合的。。。】

　　枚举子集是3^n（用二项式定理易证）

　　这个可以预处理的。

　　所以是$O(2^6*\log(n)+3^6)$

官方题解：

2017-04-02 10:41:18

【HDU 6021】 MG loves string （枚举+容斥原理）