5.4 复倒谱和倒谱

定义

      设信号x(n)的z变换为X(z) = z[x(n)]，其对数为：

      (1)

 那么的逆z变换可写成：

       (2)

取(1)式则有

       (3)

于是式子(2)则可以写成

      (4)

则式子(4)即为信号x(n)的复倒谱的定义。因为一般为复数，故称为复倒谱。如果对的绝对值取对数，得

(5)

则为实数，由此求出的倒频谱c(n)为实倒谱，简称为倒谱，即

(6)

在(3)式中，实部是可以取唯一值的，但对于虚部，会引起唯一性问题，因此要求相角为w的连续奇函数。

性质：

为判断复倒谱的性质，研究有理z变换的一般形式即可。z变换的一般形式为

其中，的绝对值皆小于1，A是一个非负数系数。因此，和项对应于单位圆内的零点和极点，和项对应于单位圆外的零点和极点，Mi和M0分别表示单位圆内和外的零点数目，Ni和N0分别表示单位圆内和外的极点数目，因子简单地表示时间原点的移动。于是，X(z)的复对数为：

在讨论复倒谱的性质时可以写为以下形式：

性质1：即使x(n)可以满足因果性、稳定性、甚至持续期有限的条件，一般而言复倒谱也是非零的，而且在正负n两个方向上都是无限延展的。

性质2：复倒谱是一个有界衰减序列，其界限为：

其中，a是的最大绝对值，而是一个常数。

性质3：如果X(z)在单位圆外无极点和零点（即），则有

这种信号称为“最小相位”信号。

性质4：对于X(z)在单位圆内没有极点或零点的情形，可以得到“最大相位”信号，有

性质5：如果输入信号为一串冲激信号，它具有如下形式：

这就意味着其也是一个间隔为Np的冲激串。