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二叉查找树(binary search tree)详解

2024-07-08 08:17:15   224人阅读

二叉查找树（Binary Search Tree），也称二叉排序树（binary sorted tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

  • 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值

  • 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值

  • 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树

  • 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）

本文地址：http://www.cnblogs.com/archimedes/p/binary-search-tree.html，转载请注明源地址。

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。

二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、multiset、关联数组等。

二叉查找树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉查找树的存储结构。中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉

查找树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行查找的过程。每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动

某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，期望O(log n),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表).

虽然二叉查找树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉查找树可以使树高为O(logn),如:SBT,AVL,红黑树等.故不失为一种好的动态查找方法.

基本操作实现：

1、二叉查找树声明

/*********二叉查找树声明 ********/typedef struct tree_node *tree_prt;struct tree_node {    element_type element;    tree_ptr left;    tree_prt right;};typedef tree_ptr SEARCH_TREE;

2、查找操作

思路：若根结点的关键字等于查找的关键字，查找成功；否则，若小于根结点的关键字的值，递归查找左子树，否则若大于根结点的关键字的值，递归查找右子树，若子树为空，则查找不成功

/*********查找算法 ********/tree_ptr find(element_type x, SEARCH_TREE T) {    if(T ==NULL)        return NULL;    if(x < T->element)        return (find(x, T->left));    else if(x > T->element)        return (find(x, T->right));    else        return T;}

3、查找最大最小结点

/*********查找最大最小结点 ********/tree_ptr find_min(SEARCH_TREE T)  //递归{    if(T == NULL)        return NULL;    else if(T->left == NULL)        return T;    else         return find_min(T->left);}tree_ptr find_max(SEARCH_TREE T)  //非递归{    if(T != NULL) {        while(T->right != NULL) {            T = T->right;        }    }    return T;}

4、插入操作

思路：首先执行查找算法，找出被插入结点的父结点，判断被查结点是父结点的左孩子还是右孩子，将被插结点作为叶子结点插入，若二叉树为空，则首先单独生成根结点

/*********插入结点1 ********/void insert(element_type x, SEARCH_TREE *T){    if(*T == NULL) {  /* 空树 */        *T = (SEARCH_TREE)malloc(sizeof(struct tree_node));        if(*T == NULL) {            printf("Out of space!!!");            return;        } else {            (*T)->element = x;            (*T)->left = (*T)->right = NULL;        }    } else if(x < (*T)->element) {        insert(x, &((*T)->left));    } else {        insert(x, &((*T)->right));    }}

当然也可以使用返回插入结点的方式：

/*********插入结点2 ********/tree_ptr insert(element_type x, SEARCH_TREE T){    if(T == NULL) {  /* 空树 */        T = (SEARCH_TREE)malloc(sizeof(struct tree_node));        if(T == NULL) {            printf("Out of space!!!");            return;        } else {            T->element = x;            T->left = T->right = NULL;        }    } else if(x < T->element) {        T->left = insert(x, T->left));    } else {        T->right = insert(x, T->right));    }    return T;}

5、删除操作

在二叉查找树删去一个结点，分三种情况讨论：

①  若p是叶子结点： 直接删除p，如图(b)所示。

②  若p只有一棵子树(左子树或右子树)：直接用p的左子树(或右子树)取代p的位置而成为f的一棵子树。即原来p是f的左子树，则p的子树成为f的左子树；原来p是f的右子树，则p的子树成为f的右子树，如图(c)、 (d)所示。   

③ 若p既有左子树又有右子树 ：处理方法有以下两种，可以任选其中一种。

◆  用p的直接前驱结点代替p。即从p的左子树中选择值最大的结点s放在p的位置(用结点s的内容替换结点p内容)，然后删除结点s。s是p的左子树中的最右边的结点且没有右子树，对s的删除同②，如图(e)所示。

◆ 用p的直接后继结点代替p。即从p的右子树中选择值最小的结点s放在p的位置(用结点s的内容替换结点p内容)，然后删除结点s。s是p的右子树中的最左边的结点且没有左子树，对s的删除同②。

void delete(SEARCH_TREE *p){    SEARCH_TREE q, s;    if((*p)->right == NULL) {        q = *p;        *p = (*p)->left;        free(q);    } else if((*p)->left == NULL) {        q = *p;        *p = (*p)->right;        free(q);    } else {        q = *p;        s = (*p)->left;        while(s->right != NULL) {            q = s;            s = s->right;        }        (*p)->element = s->element;        if(q != p) {            q->right = s->left;        } else {            q ->left = s->left;        }    }    free(s);}void deleteBST(SEARCH_TREE *T, element_type key){    if(!(*T)) {        return;    } else if ((*T)->element == key) {        free(*T);    } else if((*T)->element > key) {        deleteBST((*)T->left, key);    } else {        deleteBST((*)T->right, key);    }}

编程实践

poj2418 Hardwood Species

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>struct node {    char name[31];    struct node *lchild, *rchild;    int count;}tree;struct node *root;int n = 0;void mid_cal(struct node *root){    if(root != NULL) {        mid_cal(root->lchild);        printf("%s %.4lf\n", root->name, ((double)(root->count) / (double)n) * 100.0);        mid_cal(root->rchild);    }}void insertBST(struct node** root, char *s){    if(*root == NULL) {        struct node *p = (struct node*)malloc(sizeof(tree));        strcpy(p->name, s);        p->lchild = p->rchild = NULL;        p->count = 1;        *root = p;    } else {        if(strcmp(s, (*root)->name) == 0) {            ((*root)->count)++;            return;        } else if(strcmp(s, (*root)->name) < 0) {            insertBST(&((*root)->lchild), s);        } else {            insertBST(&((*root)->rchild), s);        }    }}int main(){    char s[31];    while(gets(s)) {        insertBST(&root, s);        n++;    }    mid_cal(root);    return 0;}

参考资料

1、Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein（潘金贵等译）《算法导论》. 机械工业出版社.

2、ACM/ICPC 算法训练教程

3、《数据结构》严蔚敏、吴伟民

4、维基百科

 


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