$\bf(引理1)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$TX=Y$，则对任意的$a > 0$，存在$\delta  > 0$，使得$TB\left( {0,a} \right)$在$O\left( {0,a\delta } \right)$中稠密

方法一

$\bf(引理2)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$TX=Y$，则对任意的$a > 0$，存在$\varepsilon > 0$，使得$TB\left( {0,a} \right) \supset O\left( {0,a\varepsilon } \right)$

方法一

$\bf(开映射定理)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$TX=Y$，则$T$为开映射，即$T$将$X$的开集映射成$Y$的开集

方法一

$\bf(逆算子定理)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$T$为双射，则逆算子${T^{ - 1}}$为有界算子

方法一

$\bf(等价范数定理)$设线性空间$X$上有两个范数${\left\|  \cdot  \right\|_1}$和${\left\|  \cdot  \right\|_2}$，若$X$关于它们都构成$\bf{Banach}$空间，且${\left\|  \cdot  \right\|_2}$比${\left\|  \cdot  \right\|_1}$强，则${\left\|  \cdot  \right\|_2}$与${\left\|  \cdot  \right\|_1}$等价

方法一

$\bf(闭图像定理)$设$X,Y$均为$\bf{Banach}$空间，且$T$是$D\left( T \right) \subset X$到$Y$的闭线性算子，$D\left( T \right)$是$X$中的闭线性子空间，则$T$是连续的

方法一  方法二

$\bf(闭图像定理)$