【例2-5】整数划分问题

在正整数n的所有不同划分中，最大加数n₁不大于m的划分个数记做q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。

（1）q(n,1)=1，n≥1

当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，即n=1+1+…+1.（n个1）

（2）q(n,m)=q(n,n),m≥n

最大加数n1实际上不大于n。因此q(1,m)=1.

（3）q(n,n)=1+q(n,n-1)

正整数n的划分由n1=n的划分和n1≤n-1的划分组成。

（4）q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)，n＞m＞1

正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1≤m-1的划分组成。

证明：（a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,...,xi}},其中{x1,x2,...,xi}的和为n-m,可能再次出现m,所有划分个数为q(n-m,m).

         （b）划分中不包含ｍ的情况，则划分中所有的值都比ｍ小，即ｎ的（ｍ－１）划分，个数为ｑ（ｎ，ｍ－１）；

所以ｑ（ｎ，ｍ）＝ｑ（ｎ－ｍ，ｍ）＋ｑ（ｎ，ｍ－１）；

以上的关系实际上给出了计算ｑ（ｎ，ｍ）的递归式如下：

Int q(int n,int m)

{

If((n=1)||(m<1))  return 0;

If((n==1)||(m==1))  return 1;

If(n<m) return q(n,n);

If(n==m) return 1+q(n,n-1);

Return q(n,m-1)+q(n-m,m);

}

算法课程小记—递归（整数划分问题）