解题方法提示

小Hi：我们已经对后缀自动机比较熟悉了，今天我们再来道稍有难度的题。

小Ho：好！这道题目让我们求的是若干串在另一个长串S中各自作为子串出现的次数，只是匹配的方式从完全相等变成了“循环同构”。

小Hi：没错！如果匹配方式是完全相等的话，本题就可以使用AC自动机或者trie图完美的解决。

小Ho：既然这个问题也和子串有关系，那么不妨试试后缀自动机。

小Hi：对。和上一期一样，你可以先想想如果询问只有一个串T应该怎么做。

小Ho：嗯，那自然就考虑所有T的循环同构的串在长串S中出现的次数。

小Hi：没错。循环同构有点麻烦，如果我们枚举与T循环同构的串，再依次判断是否在S中出现过。那复杂度至少是O(length(T)^2)的了。

小Ho：恩。比如T="abcd"的话，我们要判断4个串"abcd", "bcda", "cdab", "dabc"在S中出现的次数。

小Hi：为了能顺利解决循环同构的问题。我们要做点准备，先考虑这么一个问题。对于给定的字符串S和T，求S和T的最长公共子串。小Ho，你知道最长公共子串是什么吧？ 要注意子串和子序列不同哦。

小Ho：知道。比如"aabbabd"和"abbabb"的最长公共子串就是"abbab"。

小Hi：我们利用SAM，可以做到对于T的每个位置i，都能求出以T[i]结尾的最长公共子串是什么。以你上面说的"aabbabd"和"abbabb"为例。我们可以求出

S: aabbabdT: abbabb               1：a2: ab3: abb4: abba5: abbab6:    abb

小Ho：这个怎么求呢？

小Hi：我们先构造S的后缀自动机。然后对于每个结束位置T[i]，维护两个变量。一个是当前状态u，表示T[i]结尾的最长公共子串在S的SAM的哪个状态里；二是当前匹配长度l，表示T[i]结尾的最长公共子串的长度。初始时u=初始状态S，l=0。

小Hi：假设我们已经知道T[i-1]对应的(u, l)，要求T[i]对应的(u‘, l‘)。如果trans[u][T[i]]存在的话，那么直接令u‘=trans[u][T[i]], l‘ = l+1即可。

小Ho：那如果遇到trans[u][T[i]]不存在怎么办？ 比如处理的T[6]的时候，trans[7][b]不存在。

小Hi：这时我们要沿suffix-path(u->S)找到一个状态v满足trans[v][T[i]]存在。所以先找suffix[7]=8，而trans[8][b]=4存在。这时令u=trans[v][T[i]], l=maxlen(v)+1。

小Ho：这里trans[u][T[i]]不存在就沿着suffix-path(u->S)向前找的过程好像类似KMP中当前字符失配就沿next数组向前找？

小Hi：没错，过程是类似的。都是在"abbab"+‘b‘失配时，试图找到"abbab"的一个最长后缀s使得s+‘b‘不失配。我们知道"abbab"的后缀都在suffix-path(u->S)里，所以沿着suffix-path(u->S)向前找即可。

小Ho：如果最后直到初始状态S都没有trans[v][T[i]]存在呢？

小Hi：如果trans[S][T[i]]不存在，那字符T[i]肯定是没在字符串S中出现过。这时我们令u=S, l=0从T[i+1]重新开始即可。

小Hi：好了，现在对于T的每个位置i，我们都能求出以T[i]结尾的最长公共子串是什么。（严格来说我们知道最长公共子串的长度l）那我们能知道这个最长公共子串在S中出现了多少次么？

小Ho：这个我知道。我们既然已经知道子串对应的状态u，那么|endpos(u)|就是子串出现的次数。这个问题我们已经在hiho一下 第129周学习过了。

小Hi：现在我们的准备工作做完了。小Ho你先回顾一下前面的内容，下面我们要开始解决这周的问题了。

小Ho：好的。

小Hi：现在我们要处理T的循环同构串们。这里有一个常用的技巧，假设T的长度是n，我们令T‘=T + T[1..n-1]形成一个新的串T‘。例如对于"abcd"，我们把"abc"拼在"abcd"后面，得到新的T="abcdabc"。这样"abcd"的循环同构串就变成了T‘="abcdabc"的长度为n的子串。

小Ho：哦！然后我们再用之前讲的方法求出在每个位置T‘[i]结束的最长公共子串。我们可以求出对应的(u, l)，如果这时l>=n，那我们就得到了一个公共子串T‘[i-l+1 .. i]。这个子串在S中出现的次数是|endpos(u)|，又恰好包含T的循环同构串T‘[i-n+1 .. i]。

小Hi：基本思路是对的。但是要注意处理两个特殊情况。第一个情况是T的n个循环同构子串有重复（相同）的情况。比如T="aa"，T‘="aaa"，还是以S="aabbabd"为例

S:  aabbabdT‘: aaa1： a       (u, l) = (1, 1)2:  aa      (u, l) = (2, 2), l>=n3:   aa     (u, l) = (2, 2), l>=n

小Hi：T‘[2]和T‘[3]结尾的最长公共子串都是"aa"，(u, l)都是(2, 2)。我们要避免"aa"的出现次数被统计2次，小Ho你想想要怎么办？

小Ho：恩，我们要记录一个状态是不是之前在l>=n的情况下到达过。如果到达过的话，下一次再到达就不要统计了。

小Hi：很好。我们还有第二个特殊情况要处理。那就是要区分串T‘[i-l+1 .. i]出现次数和T‘[i-n+1 .. i]的出现次数。前面说到，我们处理T‘[i]的时候求出当前状态u和匹配长度l。这时串T‘[i-l+1 .. i]一定是属于状态u的，T‘[i-l+1 .. i]的出现次数是|endpos(u)|。但是这时可能l>n，所以T‘[i-n+1 .. i]不一定属于状态u。T‘[i-n+1 .. i]是T‘[i-l+1 .. i]长度为n的后缀，可能在suffix-path(u->S)上，出现次数比T‘[i-n+1 .. i]多。

小Ho：这个也好办，我们只要沿着suffix-path(u->S)向上找，找到最靠近S的v满足maxlen[v]>=n (也就是minlen[v]<=n<=maxlen[v])，统计|endpos(v)|即可。

小Hi：这里有一个关键点，我们找到v之后可以直接令u=v。以免每次向前找v的复杂度过高。

小Ho：我试着总结一下，伪代码如下。

ans = 0;    //出现次数n = length(T);T‘ = T + T[1..n];u = S, l = 0;for i = 1 .. length(T‘):    while u != S AND trans[u][T‘[i]] is NULL:   //沿suffix-path(u->S)找到一个状态v满足trans[v][T‘[i]]存在        u = slink[i], l = maxlen[u];    if trans[u][T‘[i]] is not NULL:         u = trans[u][T‘[i]], l++;    else:   //直到初始状态S都没有trans[v][T‘[i]]存在        u = S, l = 0;    if l > n:   //要区分串T‘[i-l+1 .. i]出现次数和T‘[i-n+1 .. i]的出现次数        while maxlen[slink[u]] >= n:            u = slink[u], l = maxlen[u];    if l >= n AND not visited[u]:   //第一次在l>=n的情况下达到u        visited[u] = TRUE;        ans += |endpos(u)|;

小Ho：最后一个问题，本题有多个T怎么办呐？

小Hi：笨！处理每个T复杂度都是线性的，多个T就依次处理一遍就行了。

小Ho：原来如此。