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非负矩阵分解(4):NMF算法和聚类算法的联系与区别

作者:桂。

时间:2017-04-14   06:22:26

链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6685811.html

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前言

之前梳理了一下非负矩阵分解(Nonnegative matrix factorization, NMF),主要有:

  1)准则函数及KL散度

  2)NMF算法推导与实现

  3)拉格朗日乘子法求解NMF(将含限定NMF的求解 一般化)

谱聚类可以参考之前的文章:

  1)拉普拉斯矩阵(Laplace Matrix)与瑞利熵(Rayleigh quotient)

  2)谱聚类(Spectral clustering)(1):RatioCut

  3)谱聚类(Spectral clustering)(2):NCut

总感觉NMF跟聚类有联系,这里试着从聚类角度分析一下非负矩阵分解,主要包括:

  1)Kmeans与谱聚类

  2)对称非负矩阵分解(symmetric NMF,SyNMF);

  3)非对称非负矩阵分解;

内容为自己的学习总结,如果有不对的地方,还请帮忙指出。文中多有借鉴他人的地方,最后一并给出链接。

 

一、Kmeans与谱聚类

  A-Kmeans定义

技术分享,准则函数为:

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可以重写为:

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定义h:

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$n_k$为第k类样本的个数,则准则函数变为:

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从而Kmeans的优化问题,等价于:

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  B-Kmeans与谱聚类(Spectral clustering)的联系

上文给出了h的定义:

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回顾谱聚类中RatioCut定义h的思路:

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回顾RatioCut求解问题:

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可以看出求解的思路完全一致,不同的是RatioCut是拉普拉斯矩阵L,而Kmeans是矩阵$X^TX$。正因为这点不同,Kmeans在利用谱聚类的思路求解时,略有差别。利用Kmeans的思想求Kmeans,听着这不是欠揍吗? 这里只是为了分析谱聚类一般方法(L)与谱聚类对应的Kmeans($X^TX$)二者的不同。

再次写出RatioCut的步骤:

步骤一:求解拉普拉斯矩阵L

步骤二:对L进行特征值分解,并取K个最小特征值对应的特征向量(K为类别数目)

步骤三:将求解的K个特征向量(并分别归一化),构成新的矩阵,对该矩阵进行kmeans处理

kmeans得到的类别标签,就是原数据的类别标签,至此完成RatioCut聚类。

对应Kmeans呢?是不是把$X^TX$换成L就等价于对原数据Kmeans?

步骤一:求解$X^TX$

步骤二:对$X^TX$进行特征值分解,并取K个最大特征值对应的特征向量(K为类别数目)

步骤三:将求解的K个特征向量(并分别归一化),构成新的矩阵,对该矩阵进行kmeans处理

kmeans得到的类别标签,就是原数据的类别标签,至此完成RatioCut聚类。

对应测试code:

L = X‘*X;% matrix%%Step2:Eigenvalues decompositionK = 3;[Qini,V] = eig(L);%%Step3:New matrix Q[~,pos] = sort(diag(V),‘ascend‘);Q = Qini(:,pos(1:K));Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q‘*Q)‘),N,1);[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);

我们可以利用数据测试一下:

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再来看看直接对原数据Kmeans的结果:

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利用谱聚类的思想求解,得出了错误的分类结果,而直接Kmeans效果是理想的。

原因何在?问题就出在矩阵L上。回顾之前提到的拉普拉斯矩阵L特性:

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它表示的是不同数据点特征的差距,而$X^TX$呢?

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更像是一种余弦距离的测度,普通的Kmeans自然不能很好解决聚类。其实对$X^TX$利用谱聚类,特征向量子空间是严谨的,以三类为例,将特征子空间投影到二维,如下图中间所示,很容易看出子空间特征是分成三类的,但聚类之后呢?如右图所示,就出现了判别错误。这也是为什么上面两种结果不一致。

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总而言之:Kmeans是与谱聚类的思想一致,但由于中间矩阵不同,二者思路略有差异。

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   C-Kernel Kmeans与谱聚类

这里就再啰嗦一下,数据分类效果不理想,映射到高维呢?也就是核函数(Kernel function)的思想。

重新写出谱聚类框架下的Kmeans:

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对X进行映射:技术分享,得出核函数下的Kmeans(Kernel Kmeans)

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重新给出code(以kernel 取gaussian为例):

%KmeansL = X*X‘;sigma2 = 500;L = exp(-X*X‘/2/sigma2);[Qini,V] = eig(L);%%Step3:New matrix Q[~,pos] = sort(diag(V),‘descend‘);Q = Qini(:,pos(1:K));for i =1:K    Q(:,i) = Q(:,i)-min(Q(:,i));endQ = Q./repmat(sqrt(diag(Q‘*Q)‘),K*N,1);[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);

  对应分类结果:

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这个时候分类就理想了。

 

二、对称非负矩阵分解(SyNMF)

  A-原理介绍

Kmeans与RatioCut的理论框架是统一的,其实准则函数等价为:

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现在将$H^TH = I$的约束去掉,泛化后的求解问题为:

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这就是对称非负矩阵分解(SyNMF)的思路。

  B-算法求解

求解思路还是利用拉格朗日乘子+KKT,不再细说,给出结果:

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 泛化后:

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得到H之后,如何实现数据的label判别?

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可以看出得到的H分为三类,对应三种label, 即可实现数据分离。

给出SymNMF与谱聚类的对比:

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对应的code可以点击这里。

给出一个测试结果图,测试数据为三类:

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三、非对称非负矩阵分解

SymNMF是Spectral clustering的泛化推广。

上文分析的是对称的谱聚类问题:

  • Spectral clustering

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  • SymNMF

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同样的方式,分析非对称的谱聚类问题:

  •  Spectral clustering

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该问题可以转化为:

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同样的,对于:

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进行泛化:

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这就是NMF的准则函数,即:

  • NMF

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 现在来总结一下:

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关系是不是一目了然了?如何添加更多约束项呢?比如希望H矩阵尽可能系数等等,就在上面这几类问题的准则函数后添加约束,转化成对偶问题求解即可。

 

题外话

  A-非负矩阵NMF实现数据聚类

分析了这么多,已经解开了之前的困惑:谱聚类与NMF之间的联系

回顾上面分析Kmeans提到的三类数据聚类问题,对$XX^T$进行NMF处理:

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更直观地,将数据放在对应维度观察:

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可以看到,由于矩阵对称,即figure对称,对W/H聚类,都可以得到三类标签,从而实现数据的聚类。对于非对称呢?自然想到:如果W对应样本数量维度,则对W进行聚类,如果H对应样本数量维度,就对H进行聚类,同样可以实现数据聚类

  B-图的聚类(不再是数据的聚类)

上文分析的是对数据点进行分类,如果直接对邻接矩阵、拉普拉斯矩阵,也就是图片信息进行分类呢?(可能有点绕,但数据点聚类,并不代表图就是聚类,图明显可以聚类,对应的数据点也未必可以聚类)。

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图对应的矩阵,如拉普拉斯矩阵、邻接矩阵等等,说到底都是figure的表达,如上图所示,因此上文分析的矩阵W/B,可以用图片的信息替代。

对于图的聚类,一种思路是将图中像素点读取,转化成数据格式,再进行聚类。

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Data角度就是前面分析的种种类型,Figure角度呢?

给出NMF对图片的处理结果(分四类):

对应code:

img = imread(‘2.png‘);V = 1-im2bw(rgb2gray(img));figureK = 4;Iter = 500;[W,H] = nmf(V, K, Iter);subplot 331mesh(V);title(‘原数据‘)for i =1:K    subplot(3,3,i+1);    mesh(W(:,i)*H(i,:));    title([‘分解‘,num2str(i)])end

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再给出之前音乐分离的语谱图:

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对应的时域波形:

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直接图形的分解/分类,也是可以实现的。

 

参考:

  • On the Equivalence of Nonnegative Matrix Factorization and Spectral Clustering
  • Symmetric Nonnegative Matrix Factorization for Graph Clustering

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