1.矩阵的行列式：

任意矩阵中都存在一个标量，称作矩阵的行列式，这里该值记为A。

2D中，A等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位“翻转”，那么面积为负。

3D中，A等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积。3D中，如果变换使得平行六面体“由里向外”翻转，则行列式变负。

  A的大小和矩阵变换导致的尺寸改变有关。IAI和面积（2D）、体积（3D）的改变相关。

A的符号则说明了变换矩阵是否包含镜像。

A还能对矩阵进行分类。若A = 0，那么该矩阵包含投影，若A<0,则该矩阵包含镜像。

2.矩阵的逆：

矩阵的逆在几何上非常有用，因为它使得我们可以计算变换的“反向”或“相反”变换--能“撤销”原变换的变换。

3.正交矩阵：

若方阵M是正交的，则当且仅当M与它的转置矩阵MT的乘积等于单位矩阵。

正交矩阵对我们非常有用，因为它可以计算矩阵的逆矩阵。

4.矩阵正交化：

为什么需要“矩阵正交化”呢？

因为有时候设备获取的数据不准确或者浮点数的运算导致出现差错，于是就得到了“坏数据”，这对矩阵的运算是非常不利的，这种错误称为“矩阵蠕变”。这些情况下，我们就需要矩阵正交化，得到一个正交矩阵，这个矩阵要尽可能的和原矩阵保持相同（希望如此）。

5.矩阵形式的优缺点：

优点：

1.矩阵最重要的性质就是能在物体和惯性坐标系间旋转向量，这是其他描述方法做不到的。为了旋转向量，必须将方位转换成矩阵形式。

2.利用矩阵可以“打破”嵌套坐标系间的关系。

3.由于矩阵的某些性质，使得很多计算很方便。如用矩阵形式表达角位移时，逆矩阵就是“反”角位移。因为旋转矩阵是正交的，所以这个计算只是简单的矩阵转置运算。

缺点：

1.矩阵运算会占用大量内存。显然，矩阵用9个数来保存方位，这是很耗资源的，其实只需要3个就够了。假设现在做的是一个人的模型动画，该模型被分解为15个块。动画的完成严格的控制着子块和父块之间的相对方位。假设每一帧要保存一个方位，动画频率为15Hz，这意味着每秒要保存255（15*15）个方位。使用矩阵和32位浮点数，每一帧将有8100字节（32位，即一个数4字节，矩阵有9个数，于是一个矩阵用的字节数：9*4 = 36.又有255个方位要保存，即255个矩阵，255*36 = 8100字节），而使用欧拉角，同样的数据只需2700字节（因为欧拉角只用3个数就可以了！）。

2.矩阵对于人们来说，理解不够直观！

3.矩阵有可能是病态的，因为矩阵使用9个数，其实只需要3个数就够了。即，矩阵带有六阶冗余。描述方位的矩阵必须满足6个限制条件。行必须是单位向量，而且他们必须互相垂直。由于限制多，所以如果有数值异常就会导致矩阵运算出问题出现非预期行为。